Найдите квадрат разности и упростите выражение:
Раскроем скобки в выражении \(\displaystyle (\sqrt{ 3}-5\sqrt{2})^2{\small , }\) используя формулу квадрата разности.
Получаем:
\(\displaystyle (\sqrt{ 3}-5\sqrt{2})^2= \left(\sqrt{3} \right)^2- 2\cdot \sqrt{ 3} \cdot 5\sqrt{2} + \left(5\sqrt{2} \right)^2 {\small . }\)
Еще раз раскроем скобки, используя формулу произведения в степени.
Получаем:
\(\displaystyle \left(\sqrt{3} \right)^2- 2\cdot \sqrt{ 3}\cdot 5\sqrt{2} + \left(5\sqrt{2} \right)^2= \left(\sqrt{ 3}\right)^2- 2\cdot \sqrt{ 3} \cdot 5\sqrt{2} + 5^2\cdot \left(\sqrt{ 2}\right)^2 {\small . }\)
По определению корня, \(\displaystyle \left(\sqrt{ 3}\right)^2=3\) и \(\displaystyle \left(\sqrt{ 2}\right)^2=2{\small . } \) Кроме того, по свойству корня \(\displaystyle \sqrt{ 3}\cdot \sqrt{ 2}=\sqrt{ 3\cdot 2}{\small . } \) Значит,
\(\displaystyle \left(\sqrt{ 3}\right)^2- 2\cdot \sqrt{ 3}\cdot 5\sqrt{2} + 5^2\cdot \left(\sqrt{ 2}\right)^2= 3-10\sqrt{ 3\cdot 2}+25\cdot 2=53-10\sqrt{ 6}{\small . }\)
Ответ: \(\displaystyle 53-10\sqrt{ 6} {\small . }\)