Для любых ненулевых чисел \(\displaystyle a,\, b\) найдите показатели степеней:
| \(\displaystyle \frac{a^{\,-31}\cdot b^{\,-10}: a^{\,-17}: b^{\,23}\cdot a^{\, 6}} {b^{\,-35}\cdot a^{\, 2}}= a\) | \(\displaystyle \cdot \, b\) |
Применим правила произведения и частного степеней в числителе дроби:
\(\displaystyle \color{blue}{a^{\,-31}}\cdot \color{green}{b^{\,-10}}: \color{blue}{a^{\,-17}}: \color{green}{b^{\,23}}\cdot \color{blue}{a^{\, 6}}=\color{blue}{a^{\, -31-(-17)+6}}\cdot \color{green}{b^{\, -10-23}}=\color{blue}{a^{\,-8}} \cdot \color{green}{b^{\, -33}}\).
Тогда дробь примет вид:
\(\displaystyle \frac{a^{\,-31}\cdot b^{\,-10}: a^{\,-17}: b^{\,23}\cdot a^{\, 6}} {b^{\,-35} \cdot a^{\, 2}}= \frac{a^{\, -8} \cdot b^{\, -33}} {b^{\, -35}\cdot a^{\, 2}}\).
По формуле частного степеней, получаем:
\(\displaystyle \frac{\color{blue}{a^{\, -8}} \cdot \color{green}{b^{\, -33}}} {\color{green}{b^{\, -35}}\cdot \color{blue}{a^{\, 2}}}=\color{blue}{a^{\, -8-2}} \cdot \color{green}{b^{\, -33-(-35)}}=\color{blue}{a^{\, -10}} \cdot \color{green}{b^{\, 2}}\).
Таким образом,
\(\displaystyle \frac{a^{\,-31}\cdot b^{\,-10}: a^{\,-17}: b^{\,23}\cdot a^{\, 6}} {b^{\,-35}\cdot a ^{\, 2}}=a^{\, -10} \cdot b^{\, 2}\).
Ответ: \(\displaystyle a^{\, -10} \cdot b^{\, 2}\).