Найдите показатели степеней:
| \(\displaystyle \frac{2^{-30}\cdot 3^{10}: 2^{17}\cdot 3^{-23}} {3^{19}\cdot 2^{-15}: 3^{11}\cdot 2^{5}} = 2\) | \(\displaystyle \cdot \, 3\) |
Напомним, что числитель и знаменатель дроби всегда стоят в скобках, которые опускаются для удобства записи:
\(\displaystyle \frac{2^{-30}\cdot 3^{10}: 2^{17}\cdot 3^{-23}} {3^{19}\cdot 2^{-15}: 3^{11}\cdot 2^{5}} =\frac{\left(2^{-30}\cdot 3^{10}: 2^{17}\cdot 3^{-23}\right)} {\left(3^{19}\cdot 2^{-15}: 3^{11}\cdot 2^{5}\right)}.\)
Сначала упростим числитель, используя правила произведения и частного степеней:
\(\displaystyle \color{green}{2^{-30}}\cdot \color{blue}{3^{10}}: \color{green}{2^{17}}\cdot \color{blue}{3^{-23}}=\color{green}{2^{\,-30-17}}\cdot \color{blue}{3^{10+(-23)}}=\color{green}{2^{\,-47}}\cdot \color{blue}{3^{-13}}.\)
Теперь упростим знаменатель, используя правила произведения и частного степеней:
\(\displaystyle \color{blue}{3^{19}}\cdot \color{green}{2^{-15}}: \color{blue}{3^{11}}\cdot \color{green}{2^{5}}=\color{green}{2^{\,-15+5}} \cdot \color{blue}{3^{\,19 -11}}=\color{green}{2^{\, -10}}\cdot \color{blue}{3^{\,8}}. \)
После упрощений наша дробь примет следующий вид:
\(\displaystyle \frac{\color{green}{2^{-30}}\cdot \color{blue}{3^{10}}: \color{green}{2^{17}}\cdot \color{blue}{3^{-23}}} {\color{blue}{3^{19}}\cdot \color{green}{2^{-15}}: \color{blue}{3^{11}}\cdot \color{green}{2^{5}}}=\frac{\color{green}{2^{\,-47}}\cdot \color{blue}{3^{-13}}}{\color{green}{2^{\, -10}}\cdot \color{blue}{3^{\,8}}}.\)
Преобразуем получившуюся дробь, используя правило частного степеней:
\(\displaystyle \frac{\color{green}{2^{\,-47}} \cdot \color{blue}{3^{-13}}}{\color{green}{2^{\, -10}}\cdot \color{blue}{3^{\,8}}}=\color{green}{2^{-47-(-10)}}\cdot \color{blue}{3^{\,-13-8}}={\bf \color{green}{2^{\, -37}}\cdot \color{blue}{3^{\,-21}}}.\)
Ответ:\(\displaystyle 2^{\, -37}\cdot 3^{\,-21}.\)