Найдите расстояние от точки пересечения диагоналей ромба до его стороны, если сторона ромба равна \(\displaystyle \sqrt{3}{\small,}\) а острый угол равен \(\displaystyle 60^\circ{\small.}\)
Пусть \(\displaystyle ABCD\) – ромб, \(\displaystyle O\) – точка пересечения его диагоналей \(\displaystyle AC\) и \(\displaystyle BD{\small.}\)
В задаче требуется найти длину отрезка \(\displaystyle OK{\small.}\)
Поскольку в ромбе диагонали перпендикулярны, то угол \(\displaystyle AOB\) прямой. Так как диагонали являются биссектрисами углов ромба, то \(\displaystyle \angle BAO=30^{\circ}{\small.}\)
Рассмотрим прямоугольный треугольник \(\displaystyle AOB {\small.}\)
В прямоугольном треугольнике с острым углом \(\displaystyle 30^{\circ}\) катет, лежащий против угла \(\displaystyle 30^{\circ}{\small,}\) равен половине гипотенузы. Значит,
\(\displaystyle BO=\frac{1}{2}\cdot AB=\frac{1}{2}\cdot \sqrt{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}{\small.}\)
По теореме Пифагора
\(\displaystyle AB^2=AO^2+OB^2{\small.}\)
Тогда
\(\displaystyle (\sqrt{3})^2=AO^2+\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2{\small,}\)
\(\displaystyle 3=AO^2+\frac{3}{4},\)
\(\displaystyle AO^2=3-\frac{3}{4}=\frac{12-3}{4}=\frac{9}{4}{\small.}\)
Поскольку длина отрезка положительна, то
\(\displaystyle AO=\sqrt{\frac{9}{4}}=\frac{3}{2}{\small.}\)
\(\displaystyle OK\) – высота треугольника \(\displaystyle AOB {\small.}\) Рассмотрим прямоугольный треугольник \(\displaystyle AOK {\small.}\)
В прямоугольном треугольнике с острым углом \(\displaystyle 30^{\circ}\) катет, лежащий против угла \(\displaystyle 30^{\circ}{\small,}\) равен половине гипотенузы. Значит,
\(\displaystyle OK=\frac{1}{2}\cdot AO= \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{2}=\frac{3}{4}=0{,}75{\small.}\)
Ответ: \(\displaystyle 0{,}75{\small .}\)