Skip to main content

Теория: 13 Трапеция (комбинированные задачи)

Задание

В равнобедренной трапеции \(\displaystyle ABCD\) с основаниями \(\displaystyle AD\) и \(\displaystyle BC\) \(\displaystyle O\) – точка пересечения диагоналей, \(\displaystyle BD=12\sqrt{2}\small,\) \(\displaystyle OC=5\sqrt{2}\small,\) \(\displaystyle \angle AOD=90^\circ\small.\) Найдите \(\displaystyle AD\small.\)

Решение

Рассмотрим треугольники \(\displaystyle ABD\) и \(\displaystyle ACD\small.\)

Они равны по двум сторонам и углу между ними:

  • \(\displaystyle AB=CD\) как боковые стороны равнобедренной трапеции,
  • \(\displaystyle \angle BAD= \angle CDA\) как углы при основании равнобедренной трапеции,
  • \(\displaystyle AD\) – общая сторона.

Значит, \(\displaystyle AC=BD=12\sqrt{2}\) и \(\displaystyle \angle ADB=\angle DAC\small.\)

Тогда

\(\displaystyle AO=AC-OC=12\sqrt{2}-5\sqrt{2}=7\sqrt{2}\small.\)

Рассмотрим прямоугольный треугольник \(\displaystyle AOD\small.\)
Так как

\(\displaystyle \angle OAD = \angle ODA\small,\)

то треугольник \(\displaystyle AOD\) равнобедренный,

\(\displaystyle AO=OD=7\sqrt{2}\small. \)

По теореме Пифагора

\(\displaystyle AD^2=AO^2 + OD^2=(7\sqrt{2})^2+(7\sqrt{2})^2=\)

\(\displaystyle =98+98=196=14^2\small.\)

Поскольку длина отрезка положительна, то \(\displaystyle AD=14\small.\)

 

Ответ: \(\displaystyle 14{\small .}\)