Skip to main content

Теория: 08 Площадь поверхности пирамиды

Задание

Стороны основания правильной четырехугольной пирамиды равны \(\displaystyle 10{\small ,}\) площадь поверхности равна \(\displaystyle 340{\small .}\) Найдите боковое ребро этой пирамиды. 

Решение

По условию задачи даны сторона основания \(\displaystyle BC=10\) и площадь поверхности \(\displaystyle S=340 {\small .}\) 

Требуется найти боковое ребро \(\displaystyle SC\) пирамиды.

Для этого нужно рассмотреть боковую грань \(\displaystyle SBC{\small .}\)

В грани \(\displaystyle SBC\) из условия известно ребро \(\displaystyle BC{\small .}\)

Можно найти апофему \(\displaystyle SH{\small ,}\) пользуясь тем, что в условии дана площадь поверхности.

Затем можно вычислить \(\displaystyle SC\) по теореме Пифагора для треугольника \(\displaystyle SHC{\small ,}\) так как \(\displaystyle HC=\frac{1}{2}BC{\small.}\) 

I. Найдем апофему \(\displaystyle SH{\small .}\)

В условии задачи дана площадь поверхности пирамиды. 

Воспользуемся формулой для вычисления площади полной поверхности пирамиды.

Правило

Площадь полной поверхности пирамиды

Площадь полной поверхности пирамиды \(\displaystyle S \) равна

\(\displaystyle S=S_{осн}+S_{бок} { \small ,} \)

где \(\displaystyle S_{осн} \) – площадь основания,

\(\displaystyle S_{бок}\) – площадь боковой поверхности пирамиды.

При этом:

  • площадь \(\displaystyle S\) известна;
  • площадь основания \(\displaystyle S_{осн}\) вычисляется через сторону основания, так как в основании лежит квадрат;
  • площадь боковой поверхности \(\displaystyle S_{бок}\) вычисляется через апофему и ребро основания.

Для нахождения \(\displaystyle SH\) нужно:

1. Вычислить \(\displaystyle S_{осн}{\small .}\)

2. Выразить \(\displaystyle S_{бок}\) через \(\displaystyle SH{\small ,}\)пользуясь тем, что \(\displaystyle S_{бок}=4S_{грани}\) и \(\displaystyle S_{грани}=\frac{1}{2}\cdot BC \cdot SH{ \small .}\) 

3. Найти \(\displaystyle SH{\small ,}\) подставив \(\displaystyle S_{осн}\) и \(\displaystyle S_{бок}\) в формулу для \(\displaystyle S\small .\) 

 

1. Найдем площадь основания пирамиды.

\(\displaystyle S_{осн}=100 \)

2. Выразим площадь боковой поверхности \(\displaystyle S_{бок}\) через апофему \(\displaystyle SH{\small .}\)

\(\displaystyle S_{бок}=4S_{грани}=20\cdot SH \)

3. Найдем \(\displaystyle SH{\small .}\) 

\(\displaystyle SH=12 \)

II. Найдем боковое ребро \(\displaystyle SC{\small .}\) 

Рассмотрим боковую грань \(\displaystyle SBC{\small .}\)

Апофема \(\displaystyle SH\) является высотой равнобедренного треугольника \(\displaystyle SBC{\small ,}\) проведенной
к основанию \(\displaystyle BC{\small .}\)

Следовательно, \(\displaystyle SH\) также является медианой треугольника \(\displaystyle SBC{\small .}\) 

Значит,

\(\displaystyle BH=HC=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}\cdot 10 = 5{\small .}\)

Рассмотрим прямоугольный треугольник \(\displaystyle SHC{\small .}\)

Найдем \(\displaystyle SC\) по теореме Пифагора для треугольника \(\displaystyle SHC{\small :}\)

\(\displaystyle SH^2+HC^2=SC^2{\small ,}\)

\(\displaystyle 12^2+5^2=SC^2{\small ,}\)

\(\displaystyle SC^2=169{\small .}\)

Так как длина отрезка положительна, то 

\(\displaystyle SC=\sqrt{169}=13{\small .}\)

Ответ: \(\displaystyle 13{\small .}\)