Конус вписан в шар. Радиус основания конуса равен радиусу шара. Объем шара равен \(\displaystyle 28 {\small.}\) Найдите объем конуса.
По условию конус вписан в шар. При этом радиус основания конуса равен радиусу шара.
Объем шара известен. Требуется найти объем конуса.
Введем обозначения:
- \(\displaystyle r\) – радиус шара и основания конуса,
- \(\displaystyle h\) – высота конуса.
\(\displaystyle h=r \small.\)
По условию радиус основания конуса равен радиусу шара. Значит, основание конуса является большим кругом шара. Поэтому центр шара \(\displaystyle O\) совпадает с центром основания конуса: \(\displaystyle OA=r \small .\) Пусть \(\displaystyle OB\) – высота конуса: \(\displaystyle OB=h \small .\) Но \(\displaystyle OB\) – это и радиус шара: \(\displaystyle OB=r \small .\) Значит, \(\displaystyle h=r \small .\) |
Необходимо найти объем конуса.
Воспользуемся формулой:
\(\displaystyle V_к=\frac{1}{3} \pi r^2 \cdot h { \small .}\)
Так как \(\displaystyle h=r{ \small ,}\) формула примет вид:
\(\displaystyle V_к=\frac{1}{3} \pi r^2 \cdot r =\frac{1}{3} \pi \cdot r^3 \small .\)
Для нахождения объема конуса необходимо знать \(\displaystyle r^3\small .\)
По условию известен объем шара.
Формула для вычисления объема шара имеет вид:
\(\displaystyle V_ш=\frac {4}{3} \pi \cdot r^3 { \small .}\)
Зная \(\displaystyle V_ш=28\small ,\) найдем \(\displaystyle r^3 { \small .}\) Получаем равенство:
\(\displaystyle 28=\frac {4}{3} \pi \cdot r^3 { \small .}\)
Тогда
\(\displaystyle r^3 = \frac{21}{\pi}\)
Из полученного ранее равенства
\(\displaystyle 28=\frac {4}{3} \pi \cdot r^3 \)
получаем
\(\displaystyle r^3 = 28 : \frac{4}{3} \pi = \frac{21}{\pi} \small . \)
Вычислим объем конуса, подставив найденное значение \(\displaystyle r^3\) в формулу
\(\displaystyle V_к=\frac{1}{3}\pi \cdot r^3 { \small .} \)
Получаем:
\(\displaystyle V_к=\frac{1}{3}\pi \cdot \frac{21}{\pi}= 7{ \small .}\)
Значит, объем конуса равен \(\displaystyle 7 \small .\)
Ответ: \(\displaystyle 7{\small .} \)