Цилиндр, объем которого равен \(\displaystyle 33 {\small,}\) описан около шара. Найдите объем шара.
По условию цилиндр описан около шара.
Объем цилиндра известен. Требуется найти объем шара.
Введем обозначения:
- \(\displaystyle r\) – радиус основания цилиндра,
- \(\displaystyle h\) – высота цилиндра.
\(\displaystyle h=2r\)
Цилиндр описан вокруг шара, если шар касается касается оснований цилиндра и всех его образующих.
|
|
Рассмотрим осевое сечение \(\displaystyle AA_1B_1B \small .\)
Это прямоугольник, в который вписана окружность радиуса \(\displaystyle r \small .\)
Стороны прямоугольника равны между собой:
\(\displaystyle AB=AA_1=A_1B_1=BB_1=2r {\small .}\)
Значит, \(\displaystyle AA_1B_1B \) – квадрат со стороной \(\displaystyle 2r\small ,\) где \(\displaystyle r\) – радиус шара и оснований цилиндра.
Поэтому высота цилиндра \(\displaystyle h=O_1O_2=2r\small .\)
Для нахождения объема шара воспользуемся формулой:
\(\displaystyle V_ш=\frac {4}{3} \pi \cdot r^3 { \small ,}\)
где \(\displaystyle r\) – радиус шара.
Значит, для вычисления объема шара необходимо знать \(\displaystyle r^3\small .\)
По условию задачи известен объем цилиндра.
Объём цилиндра вычисляется по формуле:
\(\displaystyle V_ц=\pi r^2 \cdot h { \small .}\)
Так как \(\displaystyle h=2r{ \small ,}\) формула для вычисления объема цилиндра примет вид:
\(\displaystyle V_ц=\pi r^2 \cdot 2r { \small ,}\)
\(\displaystyle V_ц=2\pi \cdot r^3 \small .\)
Найдем \(\displaystyle r^3 {\small,}\) используя известный объем цилиндра \(\displaystyle V_ц=33 {\small:}\)
\(\displaystyle r^3 = \frac{33}{2 \pi} \)
Подставляя \(\displaystyle V_ц=33\) в формулу объема цилиндра, получаем:
\(\displaystyle V_ц=2\pi \cdot r^3 \small ,\)
\(\displaystyle 33=2\pi \cdot r^3 { \small ,}\)
откуда
\(\displaystyle r^3 = \frac{33}{2 \pi} \small .\)
Подставим найденное значение \(\displaystyle r^3\) в формулу для вычисления объема шара:
\(\displaystyle V_ш=\frac {4}{3} \pi \cdot r^3 { \small ,}\)
\(\displaystyle V_ш=\frac {4}{3} \pi \cdot \frac{33}{2 \pi}= \frac{4 \pi \cdot 33}{3 \cdot 2 \pi}=22{ \small .}\)
Значит, объем шара равен \(\displaystyle 22 \small .\)
Ответ: \(\displaystyle 22{\small .} \)