Skip to main content

Теория: Средняя линия

Задание

В трапеции \(\displaystyle ABCD\) с основаниями \(\displaystyle AD=16\) и \(\displaystyle BC=12\) провели среднюю линию \(\displaystyle MN\small.\) Найдите высоту трапеции, если площадь четырехугольника \(\displaystyle AMND\) равна \(\displaystyle 75\small.\)

Решение

Так как средняя линия трапеции равна полусумме оснований, то

\(\displaystyle MN=\frac{AD+BC}{2}=\frac{16+12}{2}=\frac{28}{2}=14\small.\)

Рассмотрим четырехугольник \(\displaystyle AMND\small.\\ \) В нем стороны \(\displaystyle MN\) и \(\displaystyle AD\) параллельны по свойству средней линии трапеции. Прямые \(\displaystyle AM\) и \(\displaystyle DN\) не параллельны, так как содержат боковые стороны исходной трапеции.

Значит, четырехугольник \(\displaystyle AMND\) является трапецией. 

 

Пусть \(\displaystyle BH\) – высота трапеции \(\displaystyle ABCD\small.\)

Рассмотрим треугольник \(\displaystyle ABH\small.\)

Обозначим через \(\displaystyle K\) середину отрезка \(\displaystyle AH\small.\)

Тогда \(\displaystyle MK\) является средней линией \(\displaystyle ABH\small.\)

По свойству средней линии треугольника:

  • \(\displaystyle MK=\frac{BH}{2}\small,\) 
  • \(\displaystyle MK\parallel BH\small,\) поэтому\(\displaystyle MK\perp AD\small.\)

 

Следовательно, \(\displaystyle MK\) является высотой трапеции \(\displaystyle AMND\small.\) 

Так как 

\(\displaystyle S_{AMND}=\frac{AD+MN}{2}\cdot MK\)

и

\(\displaystyle S_{AMND}=75\small,\)

то получаем

\(\displaystyle \frac{AD+MN}{2}\cdot MK=75\small,\)

откуда

\(\displaystyle \frac{16+14}{2}\cdot MK=75\small,\)

\(\displaystyle \frac{30}{2}\cdot MK=75\small,\)

\(\displaystyle 15\cdot MK=75\small,\)

\(\displaystyle MK=\frac{75}{15}=5\small.\)

Тогда 

\(\displaystyle BH=MK\cdot 2=5\cdot 2=10\small.\)

Ответ: \(\displaystyle 10{\small .}\)

Другое решение.