Найдите все ненулевые значения параметра \(\displaystyle a{ \small ,}\) при котором квадратное уравнение
\(\displaystyle ax^2+3x-3=0\)
имеет единственное (два совпадающих) решения.
Запишем квадратное уравнение в общем виде:
\(\displaystyle \color{blue}{ a}x^2+\color{green}{ b}x+\color{red}{ c}=0{\small .} \)
Выделим коэффициенты данного уравнения:
\(\displaystyle ax^2+3x-3=\color{blue}{ a}x^2+\color{green}{ 3}x\color{red}{ -3}{\small . }\)
Значит, старший коэффициент \(\displaystyle \color{blue}{ a }\) – это параметр \(\displaystyle a{ \small ,}\) \(\displaystyle \color{green}{ b}=\color{green}{ 3}{ \small ,}\) а \(\displaystyle \color{red}{ c}=\color{red}{ -3}{\small .}\)
Поскольку значение параметра \(\displaystyle a \) не равно нулю, то уравнение \(\displaystyle ax^2+3x-3=0 \) будет иметь один корень, если его дискриминант равен нулю.
Имеем:
\(\displaystyle {\rm D}=\color{green}{ b}^2-4\color{blue}{ a}\color{red}{ c}{\small ; } \)
\(\displaystyle \color{green}{ 3}^2-4\cdot \color{blue}{ a}\cdot (\color{red}{ -3})=0{\small ; } \)
\(\displaystyle 9+12a=0{\small ; } \)
\(\displaystyle 12a=-9{\small ; } \)
\(\displaystyle a=-\frac{ 9}{12}{\small ; } \)
\(\displaystyle a=-\frac{ 3}{4}{\small . } \)
Ответ: при \(\displaystyle a= -\frac{ 3}{4}{\small .}\)