Найдите все корни квадратного уравнения:
\(\displaystyle -5x^2+35x-10=0{\small . }\)
На первом шаге избавимся от старшего коэффициента (коэффициент при \(\displaystyle x^2\)) у квадратного уравнения:
\(\displaystyle -5x^2+35x-10=0{\small , }\)
разделим на \(\displaystyle -5\) обе части уравнения,
\(\displaystyle \frac{-5x^2}{5}+\frac{35x}{-5}-\frac{10}{-5}=\frac{0}{-5}{\small , }\)
\(\displaystyle x^2-7x+2=0{\small . }\)
Решим квадратное уравнение \(\displaystyle x^2-7x+2=0\) методом выделения полного квадрата.
Воспользуемся правилом.
Квадрат разности
Для любых \(\displaystyle a,\, b\) верно
\(\displaystyle (a-b)^2=a^2-2ab+b^2\)
Перепишем выражение \(\displaystyle x^2-7x\) так, чтобы удвоенное произведение было записано явно:
\(\displaystyle x^2-\color{red}{2}\cdot \frac{ 7x}{ \color{red}{2} }=x^2-\color{red}{2}\cdot x \cdot \frac{7}{2}{\small .}\)
Сравним формулу и наше выражение:
\(\displaystyle \begin{aligned} &\color{blue}{x}^2-\color{red}{2}\cdot \color{blue}{x} \cdot \color{green}{b}+\color{green}{b}^2\\&\color{blue}{x}^2- \color{red}{2}\cdot \color{blue}{x}\cdot \color{green}{\frac{7}{2}}\,+\,?\end{aligned}\)
Получаем, что \(\displaystyle b=\frac{7}{2}{\small , }\) и надо добавить к нижнему выражению \(\displaystyle \color{green}{b}^2=\color{green}{\left(\frac{7}{2}\right)}^2=\color{green}{\frac{49}{4}}{\small ,}\) чтобы получить квадрат разности, то есть
\(\displaystyle \begin{aligned} &\color{blue}{x}^2-\color{red}{2}\cdot \color{blue}{x} \cdot \color{green}{b}+\color{green}{b}^2\\&\color{blue}{x}^2- \color{red}{2}\cdot \color{blue}{x}\cdot \color{green}{2}\,+\color{green}{\frac{49}{4}}{\small .}\end{aligned}\)
Поэтому прибавим и вычтем в выражении \(\displaystyle x^2-7x \) число \(\displaystyle \frac{49}{4}\) так, чтобы в выражении
\(\displaystyle x^2-7x+2\)
получить полный квадрат:
\(\displaystyle \left(x^2-7x+\color{green}{\frac{49}{4}}\right)-\color{green}{ \frac{49}{4}}+2=\left(x^2-2\cdot x \cdot \frac{7}{2}+\color{green}{\left(\frac{7}{2}\right)^2}\right)-\frac{41}{4}=\left(x-\frac{7}{2}\right)^2-\frac{41}{4}{\small . }\)
Значит, \(\displaystyle x^2-7x+2=\left(x-\frac{7}{2}\right)^2-\frac{41}{4}{\small . }\)
Так как \(\displaystyle x^2-7x+2=\left(x-\frac{7}{2}\right)^2-\frac{41}{4}{\small , }\) то уравнение
\(\displaystyle x^2-7x+2=0\)
равносильно уравнению
\(\displaystyle \left(x-\frac{7}{2}\right)^2-\frac{41}{4}=0\)
или
\(\displaystyle \left(x-\frac{7}{2}\right)^2=\frac{41}{4}{\small . }\)
Теперь воспользуемся следующим правилом:
Уравнение \(\displaystyle x^2=a\)
- имеет два решения, если \(\displaystyle a>0{\small :}\)
\(\displaystyle x= \sqrt{a}\) или \(\displaystyle x= -\sqrt{a} \,{\small ; } \)
- имеет одно решение (два совпадающих решения), если \(\displaystyle a= 0{\small :}\)
\(\displaystyle x=0 {\small ; }\)
- не имеет решений, если \(\displaystyle a<0{\small .}\)
Получаем:
\(\displaystyle x-\frac{7}{2}= \sqrt{ \frac{41}{4}} \) или \(\displaystyle x-\frac{7}{2}= -\sqrt{ \frac{41}{4}} {\small , } \)
то есть
\(\displaystyle x-\frac{7}{2}=\frac{\sqrt{41}}{2}\) или \(\displaystyle x-\frac{7}{2}=-\frac{\sqrt{41}}{2} {\small ,} \)
\(\displaystyle x=\frac{7}{2}+\frac{\sqrt{41}}{2} \) или \(\displaystyle x= \frac{7}{2}-\frac{\sqrt{41}}{2} {\small .} \)
Таким образом,
\(\displaystyle x=\frac{7}{2}+\frac{\sqrt{41}}{2} \) или \(\displaystyle x= \frac{7}{2}-\frac{\sqrt{41}}{2} {\small .} \)
Ответ: \(\displaystyle x=\frac{7}{2}+\frac{\sqrt{41}}{2} \) или \(\displaystyle x= \frac{7}{2}-\frac{\sqrt{41}}{2} {\small .} \)