Выделите полный квадрат и найдите все корни квадратного уравнения:
\(\displaystyle x^2-5x+1=0{\small . }\)
1. Выделим полный квадрат, воспользовавшись формулой.
Перепишем выражение \(\displaystyle x^2-5x\) так, чтобы удвоенное произведение было записано явно:
\(\displaystyle x^2-\color{red}{2}\cdot \frac{ 5x}{ \color{red}{2} }=x^2-\color{red}{2}\cdot x \cdot \frac{5}{2} {\small .}\)
Сравним формулу и наше выражение:
\(\displaystyle \begin{aligned} &\color{blue}{x}^2-\color{red}{2}\cdot \color{blue}{x} \cdot \color{green}{b}+\color{green}{b}^2\\&\color{blue}{x}^2- \color{red}{2}\cdot \color{blue}{x}\cdot \color{green}{\frac{5}{2} }\,+\,?\end{aligned}\)
Получаем, что \(\displaystyle b=\frac{5}{2} {\small , }\) и надо добавить к нижнему выражению \(\displaystyle \color{green}{b}^2=\left(\color{green}{\frac{5}{2} }\right)^2=\color{green}{\frac{25}{4} }{\small ,}\) чтобы получить квадрат разности, то есть
\(\displaystyle \begin{aligned} &\color{blue}{x}^2-\color{red}{2}\cdot \color{blue}{x} \cdot \color{green}{b}+\color{green}{b}^2\\&\color{blue}{x}^2- \color{red}{2}\cdot \color{blue}{x}\cdot \color{green}{\frac{5}{2} }\,+\color{green}{\frac{25}{4} }{\small .}\end{aligned}\)
Поэтому прибавим и вычтем в выражении \(\displaystyle x^2-5x \) число \(\displaystyle \frac{25}{4} \) так, чтобы в выражении
\(\displaystyle x^2-5x+1 \)
получить полный квадрат:
\(\displaystyle \left(x^2-5x+\color{green}{\frac{25}{4} }\right)-\color{green}{ \frac{25}{4} }+1 =0{\small .}\)
Распишем квадрат разности слева явно:
\(\displaystyle \left(x^2+2\cdot x \cdot \frac{5}{2} +\color{green}{\left(\frac{5}{2}\right)^2}\right)-\frac{21}{4}=0{\small . }\)
Сворачивая, получаем:
\(\displaystyle \left(x-\frac{5}{2}\right)^2-\frac{21}{4}=0{\small ; }\)
\(\displaystyle \left(x-\frac{5}{2}\right)^2=\frac{21}{4}{\small . }\)
2. Решим полученное уравнение, воспользовавшись правилом для решения уравнения вида \(\displaystyle \color{red}{ X}^2=a{\small . } \)
Считая, что \(\displaystyle \color{red}{ X}= x-\frac{5}{2} \) и \(\displaystyle a=\frac{21}{4}>0{\small , } \) получаем:
\(\displaystyle x-\frac{5}{2} = \sqrt{ \frac{21}{4}} \) или \(\displaystyle x-\frac{5}{2} = -\sqrt{ \frac{21}{4}} {\small . } \)
Значит,
\(\displaystyle x=\frac{5}{2} +\frac{\sqrt{21}}{2} \) или \(\displaystyle x= \frac{5}{2} - \frac{\sqrt{21}}{2} {\small . } \)
| Ответ: | \(\displaystyle \left(x-\frac{5}{2}\right)^2=\frac{21}{4}{\small ;}\) |
| \(\displaystyle x=\frac{5}{2} +\frac{\sqrt{21}}{2} \) или \(\displaystyle x= \frac{5}{2} - \frac{\sqrt{21}}{2} {\small . } \) |