Теория: Подобные одночлены, сумма и разность одночленов

Поскольку мы можем складывать и вычитать только подобные одночлены, то сначала определим в выражении

\(\displaystyle 3x^{\,2}yz^{\,3}+15x^{\,6}y^{\,5}z^{\,4}-17x^{\,2}yz^{\,3}+4x^{\,6}y^{\,5}z^{\,4}\)

те слагаемые, которые являются подобными одночленами.

Отбросим последовательно числовые коэффициенты у каждого слагаемого:

\(\displaystyle \color{blue}{3}x^{\,2}yz^{\,3} \rightarrow x^{\,2}yz^{\,3}{\small ,}\)

\(\displaystyle \color{blue}{15}x^{\,6}y^{\,5}z^{\,4} \rightarrow x^{\,6}y^{\,5}z^{\,4}{\small ,}\)

\(\displaystyle \color{blue}{17}x^{\,2}yz^{\,3} \rightarrow x^{\,2}yz^{\,3}{\small ,}\)

\(\displaystyle \color{blue}{4}x^{\,6}y^{\,5}z^{\,4} \rightarrow x^{\,6}y^{\,5}z^{\,4}{\small .}\)

В первом и третьем случаях получился одночлен \(\displaystyle x^{\,2}yz^{\,3}{\small ,}\) а во втором и четвертом случаях – одночлен \(\displaystyle x^{\,6}y^{\,5}z^{\,4}{\small .}\) Значит, подобными являются одночлены:

\(\displaystyle 3x^{\,2}yz^{\,3}\) и \(\displaystyle 17x^{\,2}yz^{\,3}{\small ,}\)

\(\displaystyle 15x^{\,6}y^{\,5}z^{\,4}\) и \(\displaystyle 4x^{\,6}y^{\,5}z^{\,4}{\small .}\)

Выполним действия над соответствующими подобными одночленами:

\(\displaystyle \begin{array}{l} \color{blue}{3}x^{\,2}yz^{\,3}+\color{green}{15}x^{\,6}y^{\,5}z^{\,4}-\color{blue}{17}x^{\,2}yz^{\,3}+\color{green}{4}x^{\,6}y^{\,5}z^{\,4}=\\ \kern{6em} =(\color{blue}{3}x^{\,2}yz^{\,3}-\color{blue}{17}x^{\,2}yz^{\,3})+(\color{green}{15}x^{\,6}y^{\,5}z^{\,4}+\color{green}{4}x^{\,6}y^{\,5}z^{\,4})=\\ \kern{12em} =(\color{blue}{3}-\color{blue}{17})x^{\,2}yz^{\,3}+(\color{green}{15}+\color{green}{4})x^{\,6}y^{\,5}z^{\,4}= -\color{blue}{14}x^{\,2}yz^{\,3}+\color{green}{19}x^{\,6}y^{\,5}z^{\,4}{\small .} \end{array}\)

Таким образом,

\(\displaystyle 3x^{\,2}yz^{\,3}+15x^{\,6}y^{\,5}z^{\,4}-17x^{\,2}yz^{\,3}+4x^{\,6}y^{\,5}z^{\,4}=-14x^{\,2}yz^{\,3}+19x^{\,6}y^{\,5}z^{\,4}{\small .}\)

Ответ: \(\displaystyle -14x^{\,2}yz^{\,3}+19x^{\,6}y^{\,5}z^{\,4}{\small .}\)