Раскройте скобки и приведите подобные слагаемые:
\(\displaystyle (2a+3x\,)(c-2y\,)-3(\,y-2x\,)(a+4c\,)+8yx+14yc=\)
Решать задачу будем в два этапа: сначала избавимся от скобок, а затем приведем подобные члены в полученном выражении.
Итак, сначала избавимся от скобок.
Умножим каждый член первой скобки на вторую скобку:
\(\displaystyle \small \begin{array}{l} (\color{blue}{2a}+\color{green}{3x}\,)(c-2y\,)-3(\,\color{blue}{y}-\color{green}{2x}\,)(a+4c\,)+8yx+14yc = \\[10px] \kern{4em} =\color{blue}{2a}\cdot (c-2y\,)+\color{green}{3x} \cdot (c-2y\,)-3\Big(\color{blue}{y}\cdot (a+4c\,)-\color{green}{2x}\cdot (a+4c\,)\Big)+8yx+14yc. \end{array}\)
Далее умножим каждую скобку на стоящий перед ней множитель:
\(\displaystyle \small \begin{array}{l} \color{blue}{2a}\cdot (c-2y\,)+\color{green}{3x} \cdot (c-2y\,)-3\Big(\color{blue}{y}\cdot (a+4c\,)-\color{green}{2x}\cdot (a+4c\,)\Big)+8yx+14yc= \\[10px] \kern{2em} =(\color{blue}{2a}\cdot c-\color{blue}{2a}\cdot 2y\,)+(\color{green}{3x} \cdot c-\color{green}{3x}\cdot 2y\,) -\\[10px] \kern{12em} -3\Big((\,\color{blue}{y}\cdot a+\color{blue}{y}\cdot 4c\,)-(\color{green}{2x}\cdot a+\color{green}{2x}\cdot 4c\,)\Big)+8yx+14yc=\\[10px] \kern{4em} =(2ac-4ay\,)+(3xc-6xy\,) -3\Big((\,ya+4yc\,)-(2xa+8xc\,)\Big)+8yx+14yc. \end{array}\)
Раскроем скобки:
\(\displaystyle \small \begin{array}{l} (2ac-4ay\,)+(3xc-6xy\,) -3\Big((\,ya+4yc\,)-(2xa+8xc\,)\Big)+8yx+14yc= \\[10px] \kern{2em} =2ac-4ay+3xc-6xy-3(\,ya+4yc-2xa-8xc\,)+8yx+14yc= \\[10px] \kern{4em} =2ac-4ay+3xc-6xy-(3\cdot ya+3\cdot 4yc-3\cdot 2xa-3\cdot 8xc\,)+8yx+14yc= \\[10px] \kern{6em} =2ac-4ay+3xc-6xy-(3ya+12yc-6xa-24xc\,)+8yx+14yc= \\[10px] \kern{8em} =2ac-4ay+3xc-6xy-3ya-12yc+6xa+24xc+8yx+14yc. \end{array}\)
Теперь приведем подобные члены в получившемся выражении.
Выберем в выражении \(\displaystyle \small 2ac-4ay+3xc-6xy-3ya-12yc+6xa+24xc+8yx+14yc\) подобные слагаемые, то есть те слагаемые, которые содержат в точности одни и те же параметры (буквы):
- \(\displaystyle \small -4ay,\,-3ya\) – эти слагаемые содержат одинаковые параметры \(\displaystyle \small a\) и \(\displaystyle \small y\,;\)
- \(\displaystyle \small 3xc,\,24xc\) – эти слагаемые содержат одинаковые параметры \(\displaystyle \small x\) и \(\displaystyle \small c\,;\)
- \(\displaystyle \small -6xy,\,8yx\) – эти слагаемые содержат одинаковые параметры \(\displaystyle \small x\) и \(\displaystyle \small y\,;\)
- \(\displaystyle \small -12yc,\,14yc\) – эти слагаемые содержат одинаковые параметры \(\displaystyle \small y\) и \(\displaystyle \small c\,;\)
- \(\displaystyle \small 2ac\) – это единственное слагаемое, содержащее \(\displaystyle \small a\) и \(\displaystyle \small c\,;\)
- \(\displaystyle \small 6xa\) – это единственное слагаемое, содержащее \(\displaystyle \small x\) и \(\displaystyle \small a.\)
Сгруппируем в выражении \(\displaystyle \small 2ac-4ay+3xc-6xy-3ya-12yc+6xa+24xc+8yx+14yc\) эти подобные слагаемые по отдельным скобкам:
\(\displaystyle \small \begin{array}{l} 2ac-4\color{blue}{ay}+3\color{green}{xc}-6\color{red}{xy}-3\color{blue}{ya}-12\color{purple}{yc}+6xa+24\color{green}{xc}+8\color{red}{yx}+14\color{purple}{yc}= \\[10px] \kern{4em} =(-4\color{blue}{ay}-3\color{blue}{ya}\,)+(3\color{green}{xc}+24\color{green}{xc}\,)+(-6\color{red}{xy}+8\color{red}{yx}\,)+(-12\color{purple}{yc}+14\color{purple}{yc}\,)+2ac+6xa. \end{array}\)
Вынося \(\displaystyle \small \color{blue}{ay}, \, \color{green}{xc}, \, \color{red}{xy}\) и \(\displaystyle \small \color{purple}{yc}\) за скобки, получаем:
\(\displaystyle \small \begin{array}{l} (-4\color{blue}{ay}-3\color{blue}{ya}\,)+(3\color{green}{xc}+24\color{green}{xc}\,)+(-6\color{red}{xy}+8\color{red}{yx}\,)+(-12\color{purple}{yc}+14\color{purple}{yc}\,)+2ac+6xa = \\[10px] \kern{7em} =(-4-3)\color{blue}{ay}+(3+24)\color{green}{xc}+(-6+8)\color{red}{xy}+(-12+14)\color{purple}{yc}+2ac+6xa= \\[10px] \kern{14em} =-7\color{blue}{ay}+27\color{green}{xc}+2\color{red}{xy}+2\color{purple}{yc}+2ac+6xa. \end{array}\)
Таким образом,
\(\displaystyle \small \begin{array}{l} (2a+3x\,)(c-2y\,)-3(\,y-2x\,)(a+4c\,)+8yx+14yc= \\[10px] \kern{16em} =-7ay+27xc+2xy+2yc+2ac+6xa. \end{array}\)
Ответ: \(\displaystyle -7ay+27xc+2xy+2yc+2ac+6xa.\)