На единичной окружности отмечена точка \(\displaystyle A \) c координатами \(\displaystyle (\cos(\color{blue}{\alpha});\,\sin(\color{blue}{\alpha})){\small ,} \) где угол \(\displaystyle \color{blue}{\alpha}\) острый. Точка \(\displaystyle B\) лежит на той же окружности и центрально-симметрична точке \(\displaystyle A\) относительно точки \(\displaystyle \rm O{\small.}\) Найдите координаты точки \(\displaystyle B{\small .} \)
Абсцисса точки \(\displaystyle B\) равна
Ордината точки \(\displaystyle B\) равна
По условию точка \(\displaystyle B\) центрально-симметрична точке \(\displaystyle A\) относительно точки начала координат.
Воспользуемся геометрическим фактом:
Если точка \(\displaystyle A\) с координатами \(\displaystyle (x_0;\,y_0)\) центрально-симметрична точке \(\displaystyle B\) с координатами \(\displaystyle (x_1;\,y_1)\) относительно точки начала координат, то
- абсциссы точек отличаются знаком: \(\displaystyle x_0=-x_1{\small,}\)
- ординаты точек отличаются знаком: \(\displaystyle y_0=-y_1{\small.}\)
Точка \(\displaystyle A\) имеет координаты \(\displaystyle (\cos(\color{blue}{\alpha});\,\sin(\color{blue}{\alpha})){\small .} \) Значит,
- абсцисса точки \(\displaystyle B\) равна \(\displaystyle -\cos(\color{blue}{\alpha}){\small;}\)
- ордината точки \(\displaystyle B\) равна \(\displaystyle -\sin(\color{blue}{\alpha}){\small.}\)