На единичной окружности отмечена точка \(\displaystyle A{\small ,} \) как показано на рисунке. Угол \(\displaystyle BOA \) равен \(\displaystyle \color{blue}{\alpha}{\small .} \) Найдите ординату точки \(\displaystyle A{\small .} \)
Ордината точки \(\displaystyle A\) равна
Опустим из точки \(\displaystyle A\) перпендикуляр на ось \(\displaystyle \rm OY{\small.}\) Тогда ордината точки \(\displaystyle A\) равна длине отрезка \(\displaystyle OC{\small.}\) В четырехугольнике \(\displaystyle OCAB\) три прямых угла: \(\displaystyle \angle OCA=\angle COB=\angle OBA = 90^{\circ}{\small.}\) Значит, \(\displaystyle OCAB\) – прямоугольник, откуда \(\displaystyle OC=AB{\small.}\) |  |
Рассмотрим прямоугольный треугольник \(\displaystyle AOB{\small,}\) катетом которого является отрезок \(\displaystyle AB{\small.}\) Гипотенуза \(\displaystyle OA\) треугольника \(\displaystyle AOB\) является радиусом единичной окружности. Значит, \(\displaystyle OA=1{\small.}\) Тогда, поскольку \(\displaystyle AB\) – катет, противолежащий углу \(\displaystyle \color{blue}{\alpha}{\small,}\) то \(\displaystyle AB=OA\cdot \frac{AB}{OA}= OA\cdot\sin(\color{blue}{\alpha})=1\cdot\sin(\color{blue}{\alpha})=\sin(\color{blue}{\alpha}){\small.}\) |  |
Таким образом, получаем:
ордината точки \(\displaystyle A\) \(\displaystyle =AB=\sin(\color{blue}{\alpha}){\small.}\)
Ответ: \(\displaystyle \sin(\color{blue}{\alpha}){\small.}\)