Сыныпта \(\displaystyle 22\)оқушы, олардың ішінде екі егіз бар — Тимур мен Самат бар. Сынып кездейсоқ түрде әрқайсысында \(\displaystyle 11\) адамнан екі топқа бөлінеді. Иван мен Игорьдің әртүрлі топтарда болу ықтималдығын табыңыз.
Біріншілері-ші тәсіл.
Самат үшін мүмкін болатын орындардың санын табайық.
Тимур тұрған топта Самат алатын \(\displaystyle 10\) орын бар. Басқа топта Самат алатын \(\displaystyle 11 \) орын бар.
Демек, нәтижелердің жалпы саны Самат алатын орындардың санына тең және \(\displaystyle 10+11=21{\small }\)
Қолайлы нәтижелердің саны Тимур жоқ топтағы бос орындардың санына тең, яғни \(\displaystyle 11{\small}\)
Анықтама бойынша Тимур мен Саматтің әртүрлі топтарда болу ықтималдығы қолайлы нәтижелер санының барлық нәтижелер санына қатынасына тең:
\(\displaystyle \frac{11}{21}{\small .}\)
Жауабы:\(\displaystyle \frac{10}{21}{\small .}\)
Екінші әдіс.
Барлық ықтимал нәтижелердің саны - бұл \(\displaystyle 22{ \small }\)-ден \(\displaystyle 11\) адамнан топтасқан ықтимал топтардың жалпы саны болып табылады, яғни
\(\displaystyle C_{22}^{11}=\frac{22!}{11!(22-11)!}=\frac{22!}{11! \cdot 11!}{\small .}\)
Қолайлы нәтижелердің саны \(\displaystyle 11\) адамнан тұратын топтардың санына тең, оған Тимур кіреді, бірақ Самат кірмейді немесе Тимур кіреді, бірақ Самат кірмейді. Осындай топтардың санын табайық.
Топта бір орынды Тимур иеленсін, содан кейін тек \(\displaystyle 10\) орын бос қалады. Алайда, бұл \(\displaystyle 10\) орынды Тимурдан басқа (ол топта болғандықтан) және Саматпен басқа кез-келген жетінші сынып оқушылары ала алады (өйткені ол бұл топта болмауы керек). Осылайша, мұндай топтардың саны \(\displaystyle 10\) ( \(\displaystyle 22-2\)) ішінен \(\displaystyle 20\) -нан таңдау санына тең:
\(\displaystyle C_{20}^{10}=\frac{20!}{10!(20-10)!}=\frac{20!}{10!\cdot 10!}{\small .}\)
Сол сияқты, егер топтағы бір орынды Самат иеленсе, біз осындай топтардың саны тең болатындығын аламыз
\(\displaystyle C_{20}^{10}=\frac{20!}{10!(20-10)!}=\frac{20!}{10!\cdot 10!}{\small .}\)
Сонда мұндай топтардың жалпы саны тең болады
\(\displaystyle \frac{20!}{10!\cdot 10!}+\frac{20!}{10!\cdot 10!}=2\cdot\frac{20!}{10!\cdot 10!}{\small .}\)
Анықтама бойынша Тимур мен Саматтің әртүрлі топтарда болу ықтималдығы қолайлы нәтижелер санының барлық нәтижелер санына қатынасына тең:
\(\displaystyle \frac{2 \cdot 20!}{10!\cdot 10!}:\frac{22!}{11! \cdot 11!}=\frac{2 \cdot 20! \cdot 11! \cdot 11!}{10!\cdot 10! \cdot 22!}=\frac{2 \cdot 11 \cdot 11}{21 \cdot 22}=\frac{11}{21}{\small .}\)
Жауабы:\(\displaystyle \frac{11}{21}{\small .}\)