Сыныпта \(\displaystyle 26\) жетінші сынып оқушылары, олардың ішінде екі егіз — Тимур мен Самат. Сынып кездейсоқ түрде әрқайсысында \(\displaystyle 13\) адамнан екі топқа бөлінеді. Тимур мен Саматтің әртүрлі топтарда болу ықтималдығын табыңыз.
Бірінші әдіс.
Самат үшін мүмкін болатын орындардың санын табайық.
Тимур тұрған топта Самат алатын \(\displaystyle 12\) орын бар. Басқа топта Самат алатын\(\displaystyle 13 \) орын бар.
Демек, нәтижелердің жалпы саны Самат алатын орындардың санына тең және \(\displaystyle 12+13=25{\small}\)
Қолайлы нәтижелер саны Тимур жоқ топтағы бос орындардың санына тең, яғни \(\displaystyle 13{\small }\)
Анықтама бойынша Тимур мен Саматтің әртүрлі топтарда болу ықтималдығы қолайлы нәтижелер санының барлық нәтижелер санына қатынасына тең:
\(\displaystyle \frac{13}{25}=0{,}52{\small .}\)
Жауабы:\(\displaystyle 0{,}52{\small .}\)
Екінші әдіс.
Барлық ықтимал нәтижелердің саны - бұл \(\displaystyle 26{ \small }\)-дан \(\displaystyle 13\) адамнан топтасқан ықтимал топтардың жалпы саны болып табылады, яғни
\(\displaystyle C_{26}^{13}=\frac{26!}{13!(26-13)!}=\frac{26!}{13! \cdot 13!}{\small .}\)
Қолайлы нәтижелердің саны \(\displaystyle 13\) адамнан тұратын топтардың санына тең, оған Тимур кіреді, бірақ Самат кірмейді немесе Самат кіреді, бірақ Тимур кірмейді. Осындай топтардың санын табайық.
Топта бір орынды Тимур иеленсін, содан кейін тек \(\displaystyle 12\) орын бос қалады. Алайда, бұл \(\displaystyle 12\) орынды Тимурдан басқа (ол топта болғандықтан) және Саматтан басқа кез-келген жетінші сынып оқушылары ала алады (өйткені ол бұл топта болмауы керек). Осылайша, мұндай топтардың саны \(\displaystyle 24\) ( \(\displaystyle 26-2\)) ішінен \(\displaystyle 12\)-ден таңдау санына тең:
\(\displaystyle C_{24}^{12}=\frac{24!}{12!(24-12)!}=\frac{24!}{12!\cdot 12!}{\small .}\)
Сол сияқты, егер топтағы бір орынды Самат иеленсе, онда мұндай топтардың саны тең болатындығын аламыз:
\(\displaystyle C_{24}^{12}=\frac{24!}{12!(24-12)!}=\frac{24!}{12!\cdot 12!}{\small .}\)
Сонда мұндай топтардың жалпы саны тең:
\(\displaystyle \frac{24!}{12!\cdot 12!}+\frac{24!}{12!\cdot 12!}=2\cdot\frac{24!}{12!\cdot 12!}{\small .}\)
Анықтама бойынша, Тимур мен Саматтің әртүрлі топтарда болу ықтималдығы қолайлы нәтижелер санының барлық нәтижелер санына қатынасына тең:
\(\displaystyle \frac{2 \cdot 24!}{12!\cdot 12!}:\frac{26!}{13! \cdot 13!}=\frac{2 \cdot 24! \cdot 13! \cdot 13!}{12!\cdot 12! \cdot 26!}=\frac{2 \cdot 13 \cdot 13}{25 \cdot 26}=\frac{13}{25}=0{,}52{\small .}\)
Жауабы:\(\displaystyle 0{,}52{\small .}\)