\(\displaystyle a\) және \(\displaystyle b\) теріс сандары үшін \(\displaystyle a>b{\small }\) екені белгілі. Салыстырыңыз:
\(\displaystyle a^{\,2}\)\(\displaystyle b^{\,2}\)
Егер \(\displaystyle \color{blue}{a},\, \color{green}{b},\, \color{blue}{x},\, \color{green}{y}\) оң сандары үшін келесілер дұрыс болса
\(\displaystyle \color{blue}{a}<\color{green}{b}\) және \(\displaystyle \color{blue}{x}<\color{green}{y}{\small , }\)
онда
\(\displaystyle \color{blue}{a}\cdot \color{blue}{x}<\color{green}{b}\cdot \color{green}{y}{\small . }\)
Жалпы жағдайда теңсіздіктер көбейтіндісінің ережесі тек теріс емес сандар үшін қолданылады.
\(\displaystyle a\) және \(\displaystyle b\) – теріс сандар болғандықтан, онда \(\displaystyle -a\) және \(\displaystyle -b\) – оң болады.
\(\displaystyle -a\) және \(\displaystyle -b{\small }\) оң сандарын салыстыру үшін \(\displaystyle a>b\) теңсіздігін \(\displaystyle -1{\small }\) көбейтеміз Төмендегіні аламыз:
\(\displaystyle -a<-b{\small .}\)
Енді \(\displaystyle -a\) және \(\displaystyle -b\) оң болғандықтан, онда \(\displaystyle \color{blue}{-a}<\color{green}{-b}\) және \(\displaystyle \color{blue}{-a}<\color{green}{-b}{\small }\) } теңсіздіктер көбейтіндісінің ережесін қолдануға болады. Төмендегіні аламыз:
\(\displaystyle \color{blue}{-a} \cdot (\color{blue}{-a}\,)<\color{green}{-b} \cdot (\color{green}{-b}\,){\small ,}\)
яғни
\(\displaystyle a^{\,2}<b^{\,2}{\small .}\)
Жауабы: \(\displaystyle a^{\,2}<b^{\,2}{\small .}\)
Алдымен шарт бойынша \(\displaystyle a<0 \) және \(\displaystyle b<0{\small } \) болғандықтан, онда \(\displaystyle a+b<0{\small } \) яғни \(\displaystyle a+b\) теріс сан екенін ескерейік.
Әрі қарай \(\displaystyle a>b{\small } \) болғандықтан, онда \(\displaystyle a-b>0{\small . } \)
\(\displaystyle a-b>0 \) теңсіздігін \(\displaystyle a+b\) теріс санына көбейтейік (бұл жағдайда теңсіздік таңбасы қарама қарсы таңбаға өзгереді). Төмендегіні аламыз:
\(\displaystyle (a-b\,)(a+b\,)<0{\small . } \)
Квадраттар айырмасының формуласы бойынша жақшаларды ашып, мынаны аламыз
\(\displaystyle a^{\,2}-b^{\,2}<0{\small , } \)
яғни
\(\displaystyle a^{\,2}<b^{\,2}{\small .}\)
Жауабы: \(\displaystyle a^{\,2}<b^{\,2}{\small .}\)