Разложите на множители (при разложении можно использовать тот факт, что это произведение двучлена на трехчлен):
Поскольку данное нам выражение
\(\displaystyle 3x^{\,5}+12x^{\, 3}+12x+x^{\,4}+4x^{\,2}+4\)
состоит из шести слагаемых, то можно предположить, что оно является произведением двучлена на трехчлен. Значит, для разложения на множители нужно разбить слагаемые на две части по три слагаемых в каждой из них.
Поскольку в исходном выражении слагаемые уже сгруппированы естественным образом по двум частям:
\(\displaystyle (3x^{\,5}+12x^{\, 3}+12x) + (x^{\,4}+4x^{\,2}+4){\small , }\)
то попробуем разложить эти части на множители.
Сначала разложим на множители первую часть \(\displaystyle (3x^{\,5}+12x^{\, 3}+12x){\small . }\)
Вынесем общий множитель \(\displaystyle 3x \) за скобки:
\(\displaystyle 3x^{\,5}+12x^{\, 3}+12x=\color{red}{ 3x}\left(\frac{3x^{\,5}}{\color{red}{ 3x}}+\frac{12x^{\,3}}{\color{red}{ 3x}}+\frac{12x}{\color{red}{ 3x}}\right)=3x\left( x^{\,4}+4x^{\,2}+4 \right){\small . }\)
Во второй части \(\displaystyle (x^{\,4}+4x^{\,2}+4) \) общий множитель равен единице, и поэтому выносить за скобки ничего не нужно.
Возвращаясь к первоначальному разложению, получаем:
\(\displaystyle 3x^{\,5}+12x^{\, 3}+12x+x^{\,4}+4x^{\,2}+4=3x\left( x^{\,4}+4x^{\,2}+4 \right)+\left(x^{\,4}+4x^{\,2}+4\right){\small . }\)
Видим, что обе части получившегося выражения содержат общий множитель \(\displaystyle \left(x^{\,4}+4x^{\,2}+4\right){\small . } \)
Вынесем его за скобки:
\(\displaystyle 3x\color{blue}{ \left( x^{\,4}+4x^{\,2}+4 \right)}+\color{blue}{ \left(x^{\,4}+4x^{\,2}+4\right)}=\color{blue}{ \left(x^{\,4}+4x^{\,2}+4\right)}(3x+1){\small . } \)
Теперь заметим, что выражение \(\displaystyle \left(x^{\,4}+4x^{\,2}+4\right) \) является квадратом суммы. Свернем его:
\(\displaystyle \left(x^{\,4}+4x^{\,2}+4\right)(3x+1)= \left(\left(x^{\,2}\right)^2+2\cdot x^{\,2}\cdot 2+2^2\right)(3x+1)= \left(x^{\,2}+2\right)^2(3x+1){\small . } \)
Таким образом,
\(\displaystyle 3x^{\,5}+12x^{\, 3}+12x+x^{\,4}+4x^{\,2}+4= \left(x^{\,2}+2\right)^2(3x+1){\small . }\)
Ответ: \(\displaystyle \left(x^{\,2}+2\right)^2(3x+1){\small . } \)