На рисунке изображен график функции \(\displaystyle f(x)=\frac{3}{4}x^2+bx+c{\small.}\) Найдите \(\displaystyle b\) и \(\displaystyle c{\small.}\)
\(\displaystyle b=\) и \(\displaystyle c=\)
Заметим, что графиком функции является парабола.
Точка \(\displaystyle (-1;1)\)
- является вершиной параболы,
- лежит на параболе.
Пользуясь этими двумя фактами, составим систему уравнений для нахождения \(\displaystyle b\) и \(\displaystyle c{\small.}\)
Поскольку точка \(\displaystyle (\color{magenta}{-1};\color{magenta}1)\) является вершиной параболы \(\displaystyle y=\frac{3}{4}x^2+bx+c{\small,}\) запишем условие на её абсциссу \(\displaystyle x_0=\color{magenta}{-1}{\small .}\)
Итак,
\(\displaystyle \color{blue}{-1=\frac{-b}{\phantom{1}2\cdot {\displaystyle\frac{3}{4}}}\phantom{1}}{\small.}\)
Поскольку точка \(\displaystyle (\color{magenta}{-1};\color{magenta}1)\) лежит на параболе \(\displaystyle y=\frac{3}{4}x^2+bx+c{\small,}\) то при подстановке её координат
\(\displaystyle x_0=\color{Magenta}{-1}\) и \(\displaystyle y_0=\color{Magenta}1\)
в уравнение
\(\displaystyle y=\frac{3}{4}x^2+bx+c\)
получим верное равенство.
Значит,
\(\displaystyle \color{green}{1=\frac{3}{4}\cdot({-1})^2+b\cdot({-1})+c}{\small.}\)
Получили систему уравнений
\(\displaystyle \left\{\begin{aligned}\color{blue}{-1}&\color{blue}{=\frac{-b}{\phantom{1}2\cdot {\displaystyle\frac{3}{4}}}\phantom{1}}{ \small ,}\\\color{green}{1}&\color{green}{=\frac{3}{4}\cdot({-1})^2+b\cdot({-1})+c}{\small .}\end{aligned}\right. \)
Решим эту систему уравнений.
Таким образом,
\(\displaystyle b=1{,}5\) и \(\displaystyle c=1{,}75{\small .}\)
Ответ: \(\displaystyle b=1{,}5\) и \(\displaystyle c=1{,}75{\small .}\)