"Айырма квадраты" формуласының геометриялық дәлелі:
Кез келген оң \(\displaystyle a,\, b\) сандары үшін келесі тепе-теңдік дұрыс:
\(\displaystyle (a-b\,)^2=a^{\, 2}-2ab+b^{\, 2}.\)
\(\displaystyle a\) және \(\displaystyle b\) оң сандар болғандықтан, біз \(\displaystyle a\) тең болатын қабырғасы бар шаршы құра аламыз (мысалы, сантиметр).
Берілген шаршының ауданы \(\displaystyle a^{\,2}\) тең (шаршы сантиметр).
Шаршының әр жағын суретте көрсетілгендей ұзындығы \(\displaystyle a-b\) және \(\displaystyle b\) болатын екі бөлікке бөлейік:
Қабырғасы \(\displaystyle a\) болатын шаршы келесілерден тұрады:
1) қабырғасы \(\displaystyle a - b\) болатын шаршы,
2) қабырғалары \(\displaystyle a\) және \(\displaystyle b\) болатын екі тіктөртбұрыш,
қабырғасы \(\displaystyle b\) болатын шаршыны қоспағанда:
Сондықтан қабырғасы \(\displaystyle a\) болатын шаршының ауданы қабырғасы \(\displaystyle a-b\) болатын шаршының аудандарының, қабырғасы \(\displaystyle b\) болатын шаршының ауданын азайтқандағы қабырғалары \(\displaystyle a\) және \(\displaystyle b\) болатын екі тіктөртбұрыштың қосындысына тең.
Үлкен шаршының ауданы оны құрайтын фигуралардың аудандарының қосындысына тең:
Фигуралардың әрқайсысының ауданын табайық.
Қабырғасы \(\displaystyle a\) болатын шаршының ауданы \(\displaystyle a^{\,2}\) тең:
 | \(\displaystyle =a^{\,2}\) |
Қабырғасы \(\displaystyle a - b\) болатын шаршының ауданы \(\displaystyle (a-b\,)^2\) тең:
 | \(\displaystyle =(a-b\,)^2\) |
Қабырғалары \(\displaystyle a\) және \(\displaystyle b\) болатын тіктөртбұрыштардың әрқайсысының ауданы \(\displaystyle ab\) тең:
 | \(\displaystyle =ab\) |
Қабырғасы \(\displaystyle b\) болатын шаршының ауданы \(\displaystyle b^{\,2}\) тең:
 | \(\displaystyle =b^{\,2}\) |
Қабырғасы \(\displaystyle a\) болатын шаршының ауданын екі тәсілмен табайық: анықтамасы бойынша және оны құрайтын фигуралардың аудандарының қосындысы ретінде.
| \(\displaystyle a^{\,2}=\) |
 |
| \(\displaystyle =(a-b\,)^2+\underbrace{a\cdot b+a\cdot b}_{2ab}-b^{\,2}=(a-b\,)^2+2ab-b^{\,2}\) |
Осылайша біз төмендегі формуланы алдық,
\(\displaystyle a^{\,2}=(a-b\,)^2+2ab-b^{\,2},\)
бұл жерден
\(\displaystyle (a-b\,)^2=a^{\,2}-2ab+b^{\,2}.\)