Теңсіздікті шешеміз
\(\displaystyle x^4+10x^2+9\le 0\)
егер ол теңсіздік шешімдерінің қиылысына тең екені белгілі болса
\(\displaystyle x^2\ge -1\) және \(\displaystyle x^2\le -9.\)
Теңсіздіктің теңсіздіктердің қиылысуының эквиваленттілігі теңсіздік шешімдерінің \(\displaystyle x^4+10x^2+9 \ge 0\) теңсіздік шешімдерінің қиылысуымен сәйкес келетіндігін білдіреді
\(\displaystyle x^2\ge -1\) және \(\displaystyle x^2\le -9{\small .}\)
Сондықтан алдымен \(\displaystyle x^2\ge -1\) және \(\displaystyle x^2\le -9{\small }\) теңсіздіктердің шешімдерін тауып, содан кейін олардың қиылысын табу жеткілікті.
Себебі \(\displaystyle x^2 \ge 0\) \(\displaystyle x{ \small ,}\) кез келген сан үшін, онда теңсіздікте
\(\displaystyle x^2\ge -1\)
оң Сан сол жақта, ал теріс сан оң жақта болады.
Алайда оң сан әрқашан теріс саннан үлкен болады.
Демек, \(\displaystyle x^2\ge -1\) теңсіздік үшін барлық сандар шешім болып табылады.
Яғни
\(\displaystyle x\in (-\infty;+\infty){\small .} \)
Себебі \(\displaystyle x^2 \ge 0\) \(\displaystyle x{ \small ,}\) кез келген сан үшін , онда теңсіздікте
\(\displaystyle x^2\le -9\)
оң Сан сол жақта, ал теріс сан оң жақта болады.
Алайда оң сан немесенің теріс санынан кем болмауы мүмкін.
Демек, \(\displaystyle x^2\le -9\) теңсіздіктің шешімі жоқ.
\(\displaystyle x^2\ge -1\) және \(\displaystyle x^2\le -9{\small }\) теңсіздіктер шешімдерінің қиылысын табайық
Онда \(\displaystyle x\in (-\infty;+\infty)\) және бір уақытта \(\displaystyle x \) теңсіздіктің шешімі жоқ (яғни бос).
Демек, \(\displaystyle x^2\ge -1\) және \(\displaystyle x^2\le -9\) теңсіздік шешімдерінің қиылысы да бос.
Жауап: \(\displaystyle x\in \empty{\small .} \)
Қарапайым квадраттық теңсіздіктерді шешу үшін формулаларды қолдануға болады.
\(\displaystyle a \geqslant 0\) үшін келесі тұжырымдар дұрыс:
- \(\displaystyle x^2 \leqslant a\) бара-бар \(\displaystyle -\sqrt{a}\leqslant x\leqslant \sqrt{a}{\small ; }\)
- \(\displaystyle x^2 < a\) бара-бар \(\displaystyle -\sqrt{a}<x < \sqrt{a}{\small ; }\)
- \(\displaystyle x^2 \geqslant a\) теңсіздіктің шешімі \(\displaystyle x\leqslant -\sqrt{a}\) немесе \(\displaystyle x\geqslant \sqrt{a}{\small ; }\)
- \(\displaystyle x^2> a\) теңсіздіктің шешімі \(\displaystyle x< -\sqrt{a}\) немесе \(\displaystyle x> \sqrt{a}{\small . }\)
\(\displaystyle a< 0\) үшін келесі тұжырымдар дұрыс:
- \(\displaystyle x^2< a\) – шешімі жоқ;
- \(\displaystyle x^2\leqslant a\) – шешімі жоқ;
- \(\displaystyle x^2> a\) – барлық сандар шешім болып табылады;
- \(\displaystyle x^2\geqslant a\) – барлық сандар шешім болып табылады;
Осы формулаларды қолдана отырып, біз мынаны аламыз
- \(\displaystyle x^2\geqslant -2\) теңсіздік үшін барлық сандар шешім болып табылады;
- \(\displaystyle x^2\leqslant -9\) теңсіздіктің шешімі жоқ.