Digital Matematika - 8 сынып - Теңсіздіктер жүйесіне биквадрат теңсіздіктің эквиваленттілігі

Тапсырма

Теңсіздікті шешеміз

\(\displaystyle x^4-8x^2-9 > 0{ \small ,}\)

егер ол теңсіздік шешімдерін біріктіруге тең екені белгілі болса

\(\displaystyle x^2<-1\) және \(\displaystyle x^2>9{\small .}\)

\(\displaystyle x \in \) Перетащите сюда правильный ответ

Шешім

Теңсіздіктің теңсіздіктерді біріктіру эквиваленті теңсіздік шешімдерінің \(\displaystyle x^4-8x^2-9 > 0\) теңсіздік шешімдерінің бірігуімен сәйкес келетіндігін білдіреді

\(\displaystyle x^2<-1\) және \(\displaystyle x^2>9{\small .}\)

Сондықтан алдымен \(\displaystyle x^2<-1\) және \(\displaystyle x^2>9{\small }\) теңсіздіктердің шешімдерін тауып, содан кейін оларды біріктіру жеткілікті.

\(\displaystyle x^2<-1\) теңсіздіктің шешімі жоқ

Себебі \(\displaystyle x^2 \ge 0\) \(\displaystyle x{ \small ,}\) кез келген саны үшін, онда теңсіздік

\(\displaystyle x^2<-1\)

теріс емес сан сол жақта, ал теріс сан оң жақта болады.

Алайда теріс емес сан теріс саннан кем болмауы мүмкін.

Демек, \(\displaystyle x^2<-1\) теңсіздіктің шешімі жоқ.

\(\displaystyle x^2>9\) теңсіздіктің \(\displaystyle x\in (-\infty;-3)\cup (3;+\infty) \) шешімі бар

Теңсіздікті түрлендіру \(\displaystyle x^2>9{\small : }\)

\(\displaystyle x^2>9{ \small ,} \)

\(\displaystyle x^2-9>0{ \small ,} \)

\(\displaystyle x^2-3^2>0{ \small ,} \)

\(\displaystyle (x-3)(x+3)>0{\small .} \)

Алынған теңсіздіктерді эквивалентті теңсіздіктер жүйесі ретінде жазайық:

\(\displaystyle \left\{\begin{aligned}x-3&>0{ \small ,}\\x+3&>0\end{aligned}\right.\) немесе \(\displaystyle \left\{\begin{aligned}x-3&< 0{ \small ,}\\x+3& <0{\small .}\end{aligned}\right.\)

Сызықтық теңсіздіктерді түрлендіру арқылы аламыз:

\(\displaystyle \left\{\begin{aligned}x&>3{ \small ,}\\x&> -3\end{aligned}\right.\) немесе \(\displaystyle \left\{\begin{aligned}x&< 3{ \small ,}\\x& <-3{\small .}\end{aligned}\right.\)

Алынған жүйелерді шешейік.

\(\displaystyle \left\{ \begin{aligned} x&>3{ \small ,}\\ x&>-3 \end{aligned} \right.\)

\(\displaystyle x>3\) теңсіздік түзу сызықтағы нүктелер жиынына сәйкес келеді:

\(\displaystyle x>-3\) теңсіздік түзу сызықтағы нүктелер жиынына сәйкес келеді:

Осылайша, айнымалы \(\displaystyle x\) бір уақытта үлкен \(\displaystyle 3\) және үлкен \(\displaystyle -3{\small :}\)

Алынған қиылысу теңсіздіктердің бастапқы жүйесінің шешімі болады.

Демек, шешім – \(\displaystyle x\in (3;+\infty){\small .} \)

немесе

\(\displaystyle \left\{ \begin{aligned} x&< 3{ \small ,}\\ x& <-3 \end{aligned} \right.\)

\(\displaystyle x< 3\)теңсіздік түзу сызықтағы нүктелер жиынына сәйкес келеді:

\(\displaystyle x<-3\) теңсіздік түзу сызықтағы нүктелер жиынына сәйкес келеді:

Осылайша, айнымалы \(\displaystyle x\) бір уақытта кіші \(\displaystyle 3\) және кіші \(\displaystyle -3{\small :}\)

Алынған қиылысу теңсіздіктердің бастапқы жүйесінің шешімі болады.

Демек, шешім – \(\displaystyle x\in (-\infty;-3){\small .} \)

Алынған шешімдерді біріктіре отырып, аламыз:

\(\displaystyle x\in (-\infty;-3)\cup (3;+\infty){\small .} \)

Шешімдерді біріктіре отырып, жауап аламыз:

\(\displaystyle x\in (-\infty;-3)\cup (3;+\infty){\small .} \)

Жауап: \(\displaystyle x\in (-\infty;-3)\cup (3;+\infty){\small .} \)

Замечание / комментарий

Қарапайым квадраттық теңсіздіктерді шешу үшін формулаларды қолдануға болады.

\(\displaystyle a \geqslant 0\) үшін келесі тұжырымдар дұрыс:

\(\displaystyle x^2 \leqslant a\) бара-бар \(\displaystyle -\sqrt{a}\leqslant x\leqslant \sqrt{a}{\small ; }\)
\(\displaystyle x^2 < a\) бара-бар \(\displaystyle -\sqrt{a}<x < \sqrt{a}{\small ; }\)
\(\displaystyle x^2 \geqslant a\) теңсіздіктің шешімі \(\displaystyle x\leqslant -\sqrt{a}\) немесе \(\displaystyle x\geqslant \sqrt{a}{\small ; }\)
\(\displaystyle x^2> a\) теңсіздіктің шешімі \(\displaystyle x< -\sqrt{a}\) немесе \(\displaystyle x> \sqrt{a}{\small . }\)

\(\displaystyle a< 0\) үшін келесі тұжырымдар дұрыс:

\(\displaystyle x^2< a\) – шешімі жоқ;
\(\displaystyle x^2\leqslant a\) – шешімі жоқ;
\(\displaystyle x^2> a\) – барлық сандар шешім болып табылады;
\(\displaystyle x^2\geqslant a\) – барлық сандар шешім болып табылады;

Осы формулаларды қолдана отырып, біз мынаны аламыз

\(\displaystyle x^2<-1\) теңсіздіктің шешімі жоқ;
\(\displaystyle x^2>9\) теңсіздіктің \(\displaystyle x<-3\) немесе \(\displaystyle x>3{\small }\) шешімі бар

Теориясы: 06 Теңсіздіктер жүйесіне биквадрат теңсіздіктің эквиваленттілігі