\(\displaystyle t=x^2\) Квадраттық теңсіздіктерге тең квадраттық теңсіздіктер жүйесін жазыңыз:
\(\displaystyle (x^2+3)(x^2-7)\le 0{\small.}\)
\(\displaystyle \left\{ \vphantom{\begin{aligned} 1\\[10px] 1 \end{aligned}} \right. \) | \(\displaystyle t\), |
\(\displaystyle t\) |
немесе
\(\displaystyle \left\{ \vphantom{\begin{aligned} 1\\[10px] 1 \end{aligned}} \right. \) | \(\displaystyle t\), |
\(\displaystyle t\). |
\(\displaystyle (\color{blue}{ x^2}+3)(\color{blue}{ x^2}-7)\ge 0{\small } \) теңсіздікке \(\displaystyle \color{red}{ t}=\color{blue}{ x^2} \) ауыстырамыз. Аламыз:
\(\displaystyle (\color{red}{ t}+3)(\color{red}{ t}-7)\ge 0 \)
\(\displaystyle (t+3)(t-7)\le 0 \) теңсіздігін эквивалентті сызықтық теңсіздіктер жүйесі ретінде жазайық.
Екі санның көбейтіндісі \(\displaystyle a\cdot b \le 0\) болған жағдайда
- немесе \(\displaystyle a\ge 0{ \small ,}\, b\le 0\) – бірінші сан теріс емес, екіншісі оң емес;
- немесе \(\displaystyle a\le 0{ \small ,}\, b\ge 0\) – бірінші сан оң емес, екіншісі теріс емес.
Сонымен, теңсіздіктің барлық шешімдері \(\displaystyle (t+3)(t-7)\le 0\) шығады, егер
- немесе \(\displaystyle t+3\ge 0{ \small ,}\, t-7\le 0\) – бірінші көбейткіш теріс емес, екіншісі оң емес,
- немесе \(\displaystyle t+3\le 0{ \small ,}\, t-7\ge 0\) – бірінші көбейткіш оң емес, екіншісі теріс емес.
Егер бұл жүйелер түрінде қайта жазылса, біз аламыз:
\(\displaystyle \left\{\begin{aligned}t+3&\ge 0{ \small ,}\\t-7 &\le 0\end{aligned}\right.\) немесе \(\displaystyle \left\{\begin{aligned}t+3&\le 0{ \small ,}\\t-7& \ge 0{\small .}\end{aligned}\right.\)
Барлық сандарды оңға жылжыту арқылы біз аламыз:
\(\displaystyle \left\{\begin{aligned}t&\ge -3{ \small ,}\\t&\le 7\end{aligned}\right.\) немесе \(\displaystyle \left\{\begin{aligned}t&\le -3{ \small ,}\\t& \ge 7{\small .}\end{aligned}\right.\)