Skip to main content

Теориясы: 03 Квадрат теңсіздікті көбейтінді арқылы шешу

Тапсырма

Теңсіздікті шешіңіз:

\(\displaystyle (x+2)(x-1)>0{\small .}\)

\(\displaystyle x\in\) Перетащите сюда правильный ответ
Шешім

Теңсіздікті \(\displaystyle (x+2)(x-1)>0 \) эквивалентті сызықтық теңсіздіктер жүйесі ретінде жазайық.

Екі санның көбейтіндісі \(\displaystyle a\cdot b >0\) болған жағдайда

  • немесе   \(\displaystyle a>0{ \small ,}\, b>0\) – екі сан да оң,
  • немесе   \(\displaystyle a<0{ \small ,}\, b<0\) –екі сан да теріс.

Сонымен, теңсіздіктің барлық шешімдері  \(\displaystyle (x+2)(x-1)>0\) шығады, егер

  • немесе   \(\displaystyle x+2>0{ \small ,}\, x-1>0\) – екі көбейткіш те оң;
  • немесе   \(\displaystyle x+2<0{ \small ,}\, x-1<0\) – екі көбейткіш те теріс.

Егер бұл жүйелер түрінде қайта жазылса, біз аламыз:

\(\displaystyle \left\{\begin{aligned}x+2&>0{ \small ,}\\x-1 &> 0\end{aligned}\right.\)   немесе   \(\displaystyle \left\{\begin{aligned}x+2&< 0{ \small ,}\\x-1& < 0{\small .}\end{aligned}\right.\)

Барлық сандарды оңға жылжыту арқылы біз аламыз:

\(\displaystyle \left\{\begin{aligned}x&>-2{ \small ,}\\x&> 1\end{aligned}\right.\)   немесе   \(\displaystyle \left\{\begin{aligned}x&< -2{ \small ,}\\x& < 1{\small .}\end{aligned}\right.\)

 

Алынған жүйелерді шешейік.

\(\displaystyle \left\{ \begin{aligned} x&>-2{ \small ,}\\ x &>1 \end{aligned} \right.\)

Теңсіздік \(\displaystyle x>-2\) түзу сызықтағы нүктелер жиынына сәйкес келеді:

 

Теңсіздік \(\displaystyle x>1\) түзу сызықтағы нүктелер жиынына сәйкес келеді:

 

Осылайша, айнымалы \(\displaystyle x\) бір уақытта үлкен  \(\displaystyle -2\) және үлкен  \(\displaystyle 1{\small :}\)

Алынған қиылысу теңсіздіктердің бастапқы жүйесінің шешімі болады.

Сондықтан шешімдер  – \(\displaystyle x\in (1;+\infty){\small .} \)


 

немесе  

\(\displaystyle \left\{ \begin{aligned} x&<-2{ \small ,}\\ x &<1{\small .} \end{aligned} \right.\)

Теңсіздік \(\displaystyle x< -2\) түзу сызықтағы нүктелер жиынына сәйкес келеді:

 

Теңсіздік \(\displaystyle x<1\) түзу сызықтағы нүктелер жиынына сәйкес келеді:

 

Осылайша, айнымалы \(\displaystyle x\) бір уақытта кіші  \(\displaystyle -2\) және кіші  \(\displaystyle 1{\small :}\)

Алынған қиылысу теңсіздіктердің бастапқы жүйесінің шешімі болады.

Сондықтан шешімдер – \(\displaystyle x\in (-\infty;-2){\small .} \)

Алынған шешімдерді біріктіре отырып, біз жауап аламыз:

\(\displaystyle x\in (1;+\infty)\qquad\) немесе   \(\displaystyle \qquad x\in (-\infty;-2) \)


Жауап: \(\displaystyle x\in (-\infty;-2)\cup (1;+\infty){\small .} \)