Skip to main content

Теориясы: 03 Квадрат теңсіздікті көбейтінді арқылы шешу

Тапсырма

Теңсіздікті шешіңіз:

\(\displaystyle 6(x-2)(x+7)<0{\small .}\)

\(\displaystyle x \in \) Перетащите сюда правильный ответ
Шешім

Берілген теңсіздікті  \(\displaystyle 6(x-2)(x+7)<0{ \small ,} \) екі бөлікті де \(\displaystyle 6{\small } \) бөлу арқылы жеңілдетіңіз

\(\displaystyle \color{blue}{ 6}(x-2)(x+7)<0 \,| :\color{blue}{ 6}\)

\(\displaystyle (x-2)(x+7)<0{\small .} \)

Теңсіздіктерді \(\displaystyle (x-2)(x+7)<0 \) эквивалентті теңсіздіктер жүйесі ретінде жазайық.

Екі санның көбейтіндісі \(\displaystyle a\cdot b <0\) болған жағдайда

  • немесе   \(\displaystyle a>0{ \small ,}\, b<0\) – бірінші сан оң, екіншісі теріс;
  • немесе   \(\displaystyle a<0{ \small ,}\, b>0\) – бірінші сан теріс, екіншісі оң.

Сонымен, теңсіздіктің барлық шешімдері  \(\displaystyle (x-2)(x+7)<0\) шығады, егер

  • немесе   \(\displaystyle x-2>0{ \small ,}\, x+7<0\) – бірінші көбейткіш оң, екіншісі теріс;
  • немесе   \(\displaystyle x-2<0{ \small ,}\, x+7>0\) – бірінші көбейткіш теріс, екіншісі оң.

 

Егер бұл жүйелер түрінде қайта жазылса, біз аламыз:

\(\displaystyle \left\{\begin{aligned}x-2&>0{ \small ,}\\x+7 &< 0\end{aligned}\right.\)   немесе   \(\displaystyle \left\{\begin{aligned}x-2&< 0{ \small ,}\\x+7& >0{\small .}\end{aligned}\right.\)

Барлық сандарды оңға жылжыту арқылы біз аламыз:

\(\displaystyle \left\{\begin{aligned}x&>2{ \small ,}\\x&< -7\end{aligned}\right.\)   немесе   \(\displaystyle \left\{\begin{aligned}x&< 2{ \small ,}\\x& > -7{\small .}\end{aligned}\right.\)

 

Алынған жүйелерді шешейік.

\(\displaystyle \left\{ \begin{aligned} x&>2{ \small ,}\\ x &<-7 \end{aligned} \right.\)

Теңсіздік \(\displaystyle x>2\) түзу сызықтағы нүктелер жиынына сәйкес келеді:

  
 

  Теңсіздік \(\displaystyle x<-7\) түзу сызықтағы нүктелер жиынына сәйкес келеді:
 

Осылайша, айнымалы \(\displaystyle x\) бір уақытта үлкен \(\displaystyle 2\) және кіші \(\displaystyle -7{\small :}\)

  
Ортақ нүктелердің қиылысында жоқ болғандықтан, теңсіздіктер жүйесінде шешімдер жоқ.

Сондықтан көптеген шешімдер бос.


 

немесе  

\(\displaystyle \left\{ \begin{aligned} x&<2{ \small ,}\\ x &>-7{\small .} \end{aligned} \right.\)

Теңсіздік \(\displaystyle x< 2\) түзу сызықтағы нүктелер жиынына сәйкес келеді:


 

Теңсіздік \(\displaystyle x>-7\) түзу сызықтағы нүктелер жиынына сәйкес келеді:


 

Осылайша, айнымалы \(\displaystyle x\) бір уақытта кіші \(\displaystyle 2\) және үлкен \(\displaystyle -7{\small :}\)


Алынған қиылысу теңсіздіктердің бастапқы жүйесінің шешімі болады.

Сондықтан шешімдер  – \(\displaystyle x\in (-7;2){\small .} \)

 

Осылайша, алдық:

\(\displaystyle x\in (-7;2){\small .} \)


Жауап: \(\displaystyle x\in (-7;2){\small .} \)