Skip to main content

Теориясы: 03 Квадрат теңсіздікті көбейтінді арқылы шешу

Тапсырма

Теңсіздікті шешіңіз:

\(\displaystyle (x+10)(x-14)>0{\small .}\)

\(\displaystyle x\in\) Перетащите сюда правильный ответ
Шешім

Теңсіздікті \(\displaystyle (x+10)(x-14)>0 \) эквивалентті сызықтық теңсіздіктер жүйесі ретінде жазайық.

Екі санның көбейтіндісі \(\displaystyle a\cdot b >0\) болған жағдайда

  • немесе   \(\displaystyle a>0{ \small ,}\, b>0\) – екі сан да оң,
  • немесе   \(\displaystyle a<0{ \small ,}\, b<0\) – екі сан да теріс.

Сонымен, теңсіздіктің барлық шешімдері  \(\displaystyle (x+10)(x-14)>0\) шығады, егер

  • немесе   \(\displaystyle x+10>0{ \small ,}\, x-14>0\) – екі көбейткіш те оң;
  • немесе   \(\displaystyle x+10<0{ \small ,}\, x-14<0\) – екі көбейткіш те теріс.

Егер бұл жүйелер түрінде қайта жазылса, біз аламыз:

\(\displaystyle \left\{\begin{aligned}x+10&>0{ \small ,}\\x-14 &> 0\end{aligned}\right.\)   немесе   \(\displaystyle \left\{\begin{aligned}x+10&< 0{ \small ,}\\x-14& < 0{\small .}\end{aligned}\right.\)

Барлық сандарды оңға жылжыту арқылы біз аламыз:

\(\displaystyle \left\{\begin{aligned}x&>-10{ \small ,}\\x&> 14\end{aligned}\right.\)   немесе   \(\displaystyle \left\{\begin{aligned}x&< -10{ \small ,}\\x& < 14{\small .}\end{aligned}\right.\)

 

Алынған жүйелерді шешейік.

\(\displaystyle \left\{ \begin{aligned} x&>-10{ \small ,}\\ x &>14 \end{aligned} \right.\)

Теңсіздік \(\displaystyle x>-10\) түзу сызықтағы нүктелер жиынына сәйкес келеді:

  
 

Теңсіздік \(\displaystyle x>14\) түзу сызықтағы нүктелер жиынына сәйкес келеді:

  
 

Осылайша, айнымалы \(\displaystyle x\) бір уақытта үлкен  \(\displaystyle -10\) және үлкен  \(\displaystyle 14{\small :}\)

  
Алынған қиылысу теңсіздіктердің бастапқы жүйесінің шешімі болады.

Сондықтан шешімдер  – \(\displaystyle x\in (14;+\infty){\small .} \)


 

немесе  

\(\displaystyle \left\{ \begin{aligned} x&<-10{ \small ,}\\ x &<14{\small .} \end{aligned} \right.\)

Теңсіздік \(\displaystyle x< -10\) түзу сызықтағы нүктелер жиынына сәйкес келеді:


 

Теңсіздік \(\displaystyle x<14\) түзу сызықтағы нүктелер жиынына сәйкес келеді:


 

Осылайша, айнымалы \(\displaystyle x\) бір уақытта кіші   \(\displaystyle -10\) және кіші  \(\displaystyle 14{\small :}\)


Алынған қиылысу теңсіздіктердің бастапқы жүйесінің шешімі болады.

Сондықтан шешімдер  – \(\displaystyle x\in (-\infty;-10){\small .} \)

 

Алынған шешімдерді біріктіре отырып, біз жауап аламыз:

\(\displaystyle x\in (14;+\infty)\qquad\) немесе   \(\displaystyle \qquad x\in (-\infty;-10) \)


Жауап: \(\displaystyle x\in (-\infty;-10)\cup (14;+\infty){\small .} \)