Решите неравенство:
\(\displaystyle -7(x+10)(x-1)\le0{\small .}\)
Упростим данное неравенство \(\displaystyle -7(x+10)(x-1)\le 0{ \small ,} \) разделив обе части на \(\displaystyle -7{\small .} \)
При этом в случае деления на отрицательное число поменяем знак неравенства на противоположный:
\(\displaystyle \color{blue}{ -7}(x+10)(x-1)\le 0 \,| :\color{blue}{ -7}\)
\(\displaystyle (x+10)(x-1)\ge 0{\small .} \)
Запишем неравенство \(\displaystyle (x+10)(x-1)\ge 0 \) в виде системы эквивалентных линейных неравенств.
Произведение двух чисел \(\displaystyle a\cdot b \ge 0\) в том случае, когда
- либо \(\displaystyle a\ge 0{ \small ,}\, b\ge 0\) – оба числа неотрицательны,
- либо \(\displaystyle a\le 0{ \small ,}\, b\le 0\) – оба числа неположительны.
Значит, все решения неравенства \(\displaystyle (x+10)(x-1)\ge 0\) получаются, когда
- либо \(\displaystyle x+10\ge 0{ \small ,}\, x-1\ge 0\) – оба множителя неотрицательны,
- либо \(\displaystyle x+10\le 0{ \small ,}\, x-1\le 0\) – оба множителя неположительны.
Если это переписать в виде систем, то получаем:
\(\displaystyle \left\{\begin{aligned}x+10&\ge 0{ \small ,}\\x-1 &\ge 0\end{aligned}\right.\) или \(\displaystyle \left\{\begin{aligned}x+10&\le 0{ \small ,}\\x-1& \le 0{\small .}\end{aligned}\right.\)
Перенося все числа вправо, получаем:
\(\displaystyle \left\{\begin{aligned}x&\ge -10{ \small ,}\\x&\ge 1\end{aligned}\right.\) или \(\displaystyle \left\{\begin{aligned}x&\le -10{ \small ,}\\x& \le 1{\small .}\end{aligned}\right.\)
Решим получившиеся системы.
Объединяя полученные решения, получаем ответ:
\(\displaystyle x\in [1;+\infty)\qquad\) или \(\displaystyle \qquad x\in (-\infty;-10] \)
Ответ: \(\displaystyle x\in (-\infty;-10]\cup [1;+\infty){\small .} \)