Арифметикалық прогрессияда \(\displaystyle a_{9} + a_{10} = 7\). Осы прогрессияның алғашқы он сегіз мүшесінің \(\displaystyle S_{18}\) қосындысынан табу керек.
1-шешім.
Арифметикалық прогрессияның сипаттамалық қасиетін пайдалана отырып
\(\displaystyle S_{18}=a_1+a_2+\ldots+a_{18}\) қосындысын табамыз.
Арифметикалық прогрессияның жалпыланған сипаттамалық қасиеті
\(\displaystyle a_{n-k}+a_{n+k}=2\cdot a_{n}\)
\(\displaystyle a_{n}+a_{m}=a_{l}+a_{k}\) кез келген \(\displaystyle n+m=k+l.\)
Осы қасиетке сәйкес,
\(\displaystyle a_1 + a_{18} = a_2 + a_{17} = ... = a_{9} + a_{10} {\small .}\)
Барлығы тоғыз жұп болады, өйткені бірінші жұпта бірінші элемент бар, екіншісінде - екінші және т. б., ал соңғысында - тоғызыншы.
Біз бұл жұптарды бастапқы \(\displaystyle S_{18}{\small } \) қосындысында таңдайық.
Келесіні аламыз:
\(\displaystyle S_{18} = a_1 + a_2 + ... + a_{18} { \small ,}\)
\(\displaystyle S_{18} = (a_1 + a_{18})+(a_2 + a_{17})+\ldots+(a_{9} + a_{10}) { \small ,}\)
\(\displaystyle S_{18} = \underbrace{(a_{9} + a_{10})+(a_{9} + a_{10})+\ldots+(a_{9} + a_{10})}_{9 \text{ рет}} { \small ,}\)
\(\displaystyle S_{18} = 9\cdot (a_{9}+a_{10}){ \small .}\)
Демек, шарт бойынша \(\displaystyle a_{9}+a_{10}=7\) болса, онда
\(\displaystyle S_{18} = 9\cdot 7{ \small ,}\)
\(\displaystyle S_{18} = 63{\small .}\)
Жауабы: \(\displaystyle 63{\small .}\)
2-шешім.
\(\displaystyle a_1 \) және \(\displaystyle d{\small } \) арқылы
\(\displaystyle S_{18}=a_1+a_2+\ldots+a_{18} \) қосындысын көрсетеміз.
Егер \(\displaystyle a_2=a_1+d{ \small ,}\quad a_3=a_1+2d{ \small ,}\quad \ldots{ \small ,}\quad a_{18}=a_1+17d{ \small ,} \)
болса, онда келесіні аламыз:
\(\displaystyle S_{18}=a_1+ (a_1+d)+(a_1+2d)+\ldots+(a_1+17d){ \small .}\)
\(\displaystyle a_1 \) және \(\displaystyle d{ \small } \) жеке қосамыз. Онда
\(\displaystyle S_{18}=\underbrace{a_1 + a_1 + ... + a_1}_{18 \text{ рет}}+ (d+2d+\ldots+17d){ \small ,}\)
\(\displaystyle S_{18}=18a_1+ d\cdot (1+2+\ldots+17){ \small .}\)
Жеке қосыныдыны санаймыз
\(\displaystyle 1+2+\ldots+17{\small .} \)
Онда
\(\displaystyle \begin{aligned} 1+2+\ldots+17=(1+17)+&(2+16)+\ldots+(8+10)+9=\\&=\underbrace{18+18+\ldots+18}_{8\text{ рет}}+9=8\cdot 18+9=153{\small .}\end{aligned} \)
\(\displaystyle S_{18}\) қоя отырып, келесіні аламыз:
\(\displaystyle S_{18}=18a_1+ d\cdot 153=18a_1+ 153d=9(2a_1+17d){ \small .}\)
Егер \(\displaystyle a_{9}+a_{10}=(a_1+8d)+(a_1+9d)=2a_1+17d \) және шарт бойынша \(\displaystyle a_{9}+a_{10}=7 \) болса, онда
\(\displaystyle S_{18}=9\cdot 7=63{\small .} \)
Жауабы: \(\displaystyle 63{\small .}\)