Вычислите значения корня:
Представим подкоренное выражение \(\displaystyle 38-10\sqrt{13} \) в виде квадрата разности, то есть
\(\displaystyle 38-10\sqrt{13}=(a-b)^2,\) где \(\displaystyle a \) и \(\displaystyle b\) нужно найти.
Раскроем скобки в правой части:
\(\displaystyle 38-10\sqrt{13}=a^2-2ab+b^2.\)
Так как при возведении в квадрат корень квадратный уходит, то естественно предположить, что \(\displaystyle \color{blue}{38}-\color{green}{10\sqrt{13}}=\color{blue}{a^2}-\color{green}{2ab}+\color{blue}{b^2},\) то есть,
\(\displaystyle \left\{\begin{aligned}\color{blue}{a^2+b^2}&=\color{blue}{38}\\\color{green}{2ab}&=\color{green}{10\sqrt{13}}.\\\end{aligned}\right.\)
Сократим обе части равенства \(\displaystyle 2ab=10\sqrt{13}\) на \(\displaystyle 2{ \small .}\) Тогда \(\displaystyle ab= 5\sqrt{13}.\)
Если известно значение \(\displaystyle a,\) то \(\displaystyle b=\frac{5\sqrt{13}}{a}.\)
Найдем методом подбора значения \(\displaystyle a \) и \(\displaystyle b{\small .}\) Так как \(\displaystyle b=\frac{5\sqrt{13}}{a},\) то можно предположить, что
- \(\displaystyle a=1,\) тогда \(\displaystyle b=5\sqrt{13}{\small ; }\)
- \(\displaystyle a=5,\) тогда \(\displaystyle b=\sqrt{13}{\small ; }\)
- \(\displaystyle a=\sqrt{13},\) тогда \(\displaystyle b=5{\small ; }\)
- \(\displaystyle a=5\sqrt{13},\) тогда \(\displaystyle b=1.\)
Найдем пару, для которой \(\displaystyle a^2+b^2=38.\)
Если \(\displaystyle a=1\) и \(\displaystyle b=5\sqrt{13},\) то
\(\displaystyle a^2+b^2=1^2+(5\sqrt{13})^2=1+25\cdot 13=1+325=326\,\cancel{=}\,38.\)
Если \(\displaystyle a=5\) и \(\displaystyle b=\sqrt{13},\) то
\(\displaystyle a^2+b^2=5^2+(\sqrt{13})^2=25+13=38.\)
Поэтому \(\displaystyle a=5\) и \(\displaystyle b=\sqrt{13}\) – искомая пара и
\(\displaystyle 38-10\sqrt{13}=(5-\sqrt{13})^2.\)
Воспользуемся правилом.
Для любого числа \(\displaystyle a\) выполняется
\(\displaystyle \sqrt{ a^{\,2}}= \left|a\,\right|{\small . } \)
Получаем:
\(\displaystyle \sqrt{ 38-10\sqrt{13}}= \sqrt{\left(5-\sqrt{13}\right)^2}= \left| 5- \sqrt{ 13}\right|{\small . } \)
Раскроем модуль для получившегося выражения \(\displaystyle \left| 5- \sqrt{ 13}\right|{\small . } \)
Для этого определим знак подмодульного выражения \(\displaystyle 5- \sqrt{ 13}{\small . } \)
Поскольку \(\displaystyle 5-\sqrt{ 13}>0 {\small , } \) то знак модуля можно опустить:
\(\displaystyle \left| 5- \sqrt{ 13}\right|= 5- \sqrt{ 13}{\small . } \)
Таким образом,
\(\displaystyle \sqrt{38-10\sqrt{13}}=\sqrt{\left(5-\sqrt{13}\right)^2}= \left| 5- \sqrt{ 13}\right|=5- \sqrt{ 13}{\small . } \)
Ответ: \(\displaystyle 5-\sqrt{ 13}{\small . } \)