Көлемі \(\displaystyle 33 {\small}\) болатын цилиндр шарға сырттай сызылған. Шардың көлемін табыңыз.
Шарт бойынша цилиндр шарға сырттай сызылған.
Цилиндрдің көлемі белгілі. Шардың көлемін табу керек.
Белгілеулерді енгізейік:
- \(\displaystyle r\)– цилиндр табанының радиусы,
- \(\displaystyle h\)- цилиндрдің биіктігі.
\(\displaystyle h=2r\)
Егер шар цилиндрдің табандары мен оның барлық жасаушыларын жанайтын болса, цилиндр шарға сырттай сызылған.
|
|
Осьтік \(\displaystyle AA_1B_1B \) қимасын қарастырайық
Бұл радиусы \(\displaystyle r \small \) шеңбері бар тіктөртбұрыш.
Тіктөртбұрыштың қабырғалары бір-біріне тең:
\(\displaystyle AB=AA_1=A_1B_1=BB_1=2r {\small .}\)
Демек, \(\displaystyle AA_1B_1B \)қабырғасы \(\displaystyle 2R\)болатын шаршы, мұндағы \(\displaystyle r\)шардың радиусы және цилиндрдің табандары.
Демек, цилиндр биіктігі \(\displaystyle h=O_1O_2=2r\small .\)
Шардың көлемін табу үшін мына формуланы қолданамыз:
\(\displaystyle V_ш=\frac {4}{3} \pi \cdot r^3 { \small ,}\)
мұндағы \(\displaystyle r\)– шардың радиусы.
Сонда, шардың көлемін есептеу үшін \(\displaystyle r^3\small \) білу керек.
Есептің Шарт бойынша цилиндрдің көлемі белгілі.
Цилиндрдің көлемі мына формула бойынша есептеледі:
\(\displaystyle V_ц=\pi r^2 \cdot h { \small .}\)
\(\displaystyle h=2r{ \small }\) болғандықтан, цилиндрдің көлемін есептеу формуласы келесідей болады:
\(\displaystyle V_ц=\pi r^2 \cdot 2r { \small ,}\)
\(\displaystyle V_ц=2\pi \cdot r^3 \small .\)
Цилиндрдің \(\displaystyle r^3 {\small,}\) белгілі көлемін пайдаланып \(\displaystyle V_ц=33 {\small}\) табайық:
\(\displaystyle r^3 = \frac{33}{2 \pi} \)
Цилиндр көлемінің формуласына \(\displaystyle V_ц=33\) алмастырсақ, мынаны аламыз:
\(\displaystyle V_ц=2\pi \cdot r^3 \small ,\)
\(\displaystyle 33=2\pi \cdot r^3 { \small ,}\)
осыдан
\(\displaystyle r^3 = \frac{33}{2 \pi} \small .\)
тең \(\displaystyle r^3\) шардың көлемін есептеу формуласына алмастырайық:
\(\displaystyle V_ш=\frac {4}{3} \pi \cdot r^3 { \small ,}\)
\(\displaystyle V_ш=\frac {4}{3} \pi \cdot \frac{33}{2 \pi}= \frac{4 \pi \cdot 33}{3 \cdot 2 \pi}=22{ \small .}\)
Сонда шардың көлемі \(\displaystyle 22 \small \) тең.
Жауабы: \(\displaystyle 22{\small .} \)