Теңдеуді шешіңіз:
\(\displaystyle (x-2)+\frac{11x+3}{9x+1}=0\)
\(\displaystyle 9x+1\) бөлшек бөлгіш болғандықтан, \(\displaystyle 9x+1\) – нөлдік емес өрнек болып табылады және бірлікті \(\displaystyle 9x+1{\small }\) бөлгіші бар бөлшек ретінде көрсетуге болады
\(\displaystyle 1=\frac{9x+1}{9x+1}{\small .}\)
Онда
\(\displaystyle (x-2)=(x-2)\cdot 1=(x-2)\cdot \frac{9x+1}{9x+1}=\frac{(x-2)(9x+1)}{9x+1}{\small .}\)
Сонымен
\(\displaystyle \color{green}{ (x-2)}+\frac{11x+3}{9x+1}=\color{green}{ \frac{(x-2)(9x+1)}{9x+1}}+\frac{11x+3}{9x+1}=\frac{(x-2)(9x+1)+11x+3}{9x+1}{\small . }\)
Біз жақшаларды ашамыз және алынған бөлшектің алымына ұқсас:
\(\displaystyle \begin{aligned} \frac{(x-2)(9x+1)+11x+3}{9x+1}&= \frac{x\,(9x+1)-2(9x+1)+11x+3}{9x+1}=\\&=\frac{9x^{\,2}+x-18x-2+11x+3}{9x+1}=\frac{9x^{\,2}-6x+1}{9x+1}{\small . }\end{aligned} \)
Бөлшек теңдеуді аламыз :
\(\displaystyle \frac{9x^{\,2}-6x+1}{9x+1}=0{\small . }\)
Осы теңдеуді шешеміз. Ол үшін бөлшек теңдеулерді шешу ережесін қолданайық.
Бөлшек теңдеу
\(\displaystyle \frac{f(x\,)}{g(x\,)}=0{ \small, }\) онда \(\displaystyle f(x\,)=0\) және \(\displaystyle g(x\,)=\not 0{ \small . }\)
Сондықтан теңдеуден
\(\displaystyle \frac{9x^{\,2}-6x+1}{9x+1}=0\)
келесідей
\(\displaystyle 9x^{\,2}-6x+1=0 \) және \(\displaystyle 9x+1=\not 0{\small .} \)
\(\displaystyle 9x+1=0\) болғандықтан \(\displaystyle x=-\frac{1}{9}{\small ,}\) онда \(\displaystyle 9x+1=\not 0{\small , }\) егер \(\displaystyle x=\not -\frac{ 1}{ 9}{ \small .}\)
Теңдеуді \(\displaystyle 9x^{\,2}-6x+1=0 { \small } \) шешеміз
\(\displaystyle 9x^{\,2}-6x+1=0{ \small ; } \)
Айырмашылық квадратының формуласын қолдана отырып, теңдеудің сол жағын бүктеңіз:
\(\displaystyle a^{\,2}-2ab+b^{\,2}= (a-b\,)^2{\small . } \)
Онда
\(\displaystyle 9x^{\,2}-6x+1= (3x\,)^2-2\cdot 3x\cdot 1+1^2=(3x-1)^2{\small . } \)
Теңдеуді аламыз
\(\displaystyle (3x-1)^2=0{\small , } \)
осыдан
\(\displaystyle 3x-1=0{\small . } \)
Осы сызықтық теңдеуді шеше отырып, біз аламыз:
\(\displaystyle 3x=1{\small ; } \)
\(\displaystyle x=\frac{ 1}{ 3}{\small . } \)
Осылайша аламыз,
\(\displaystyle x=\frac{ 1}{ 3} \) және \(\displaystyle x=\not -\frac{ 1}{ 9}{\small .}\)
Демек, \(\displaystyle x=\frac{ 1}{ 3}\) – ізделінетін шешім.
Жауап: \(\displaystyle \bf \frac{ 1}{ 3}{\small . } \)