Квадрат теңдеудің барлық түбірлерін табыңыз:
\(\displaystyle -5x^2+35x-10=0{\small . }\)
Бірінші қадамда квадрат теңдеудегі үлкен коэффициенттен (\(\displaystyle x^2\) кезіндегі коэффициент) құтылайық:
\(\displaystyle -5x^2+35x-10=0{\small , }\)
теңдеудің екі бөлігін де \(\displaystyle -5\) бөлеміз
\(\displaystyle \frac{-5x^2}{5}+\frac{35x}{-5}-\frac{10}{-5}=\frac{0}{-5}{\small , }\)
\(\displaystyle x^2-7x+2=0{\small . }\)
\(\displaystyle x^2-7x+2=0\) квадрат теңдеуін толық квадратты бөліп алу арқылы шешейік.
Ережені қолданайық.
Кез келген \(\displaystyle a,\, b\) үшін келесілер дұрыс \(\displaystyle (a-b)^2=a^2-2ab+b^2\)Айырманың квадраты
\(\displaystyle x^2-7x\) өрнегін екі еселенген көбейтінді анық жазылатындай етіп қайта жазайық:
\(\displaystyle x^2-\color{red}{2}\cdot \frac{ 7x}{ \color{red}{2} }=x^2-\color{red}{2}\cdot x \cdot \frac{7}{2}{\small .}\)
Формула мен өрнегімізді салыстырайық:
\(\displaystyle \begin{aligned} &\color{blue}{x}^2-\color{red}{2}\cdot \color{blue}{x} \cdot \color{green}{b}+\color{green}{b}^2\\&\color{blue}{x}^2- \color{red}{2}\cdot \color{blue}{x}\cdot \color{green}{\frac{7}{2}}\,+\,?\end{aligned}\)
\(\displaystyle b=\frac{7}{2}{\small , }\) аламыз , және төменгі өрнекке айырманың квадратын алу үшін \(\displaystyle \color{green}{b}^2=\color{green}{\left(\frac{7}{2}\right)}^2=\color{green}{\frac{49}{4}}{\small ,}\) қосу керек, яғни
\(\displaystyle \begin{aligned} &\color{blue}{x}^2-\color{red}{2}\cdot \color{blue}{x} \cdot \color{green}{b}+\color{green}{b}^2\\&\color{blue}{x}^2- \color{red}{2}\cdot \color{blue}{x}\cdot \color{green}{2}\,+\color{green}{\frac{49}{4}}{\small .}\end{aligned}\)
\(\displaystyle x^2-7x+2\)
өрнегінде толық квадрат алу үшін \(\displaystyle x^2-7x \) өрнегіне \(\displaystyle \frac{49}{4}\) санын қосып, азайтайық:
\(\displaystyle \left(x^2-7x+\color{green}{\frac{49}{4}}\right)-\color{green}{ \frac{49}{4}}+2=\left(x^2-2\cdot x \cdot \frac{7}{2}+\color{green}{\left(\frac{7}{2}\right)^2}\right)-\frac{41}{4}=\left(x-\frac{7}{2}\right)^2-\frac{41}{4}{\small . }\)
Демек, \(\displaystyle x^2-7x+2=\left(x-\frac{7}{2}\right)^2-\frac{41}{4}{\small . }\)
\(\displaystyle x^2-7x+2=\left(x-\frac{7}{2}\right)^2-\frac{41}{4}{\small , }\) болғандықтан, онда
\(\displaystyle x^2-7x+2=0\) теңдеуі
төмендегі теңдеуге тең
\(\displaystyle \left(x-\frac{7}{2}\right)^2-\frac{41}{4}=0\)
немесе
\(\displaystyle \left(x-\frac{7}{2}\right)^2=\frac{41}{4}{\small . }\)
Енді келесі ережені қолданайық:
\(\displaystyle x^2=a\) теңдеуі
- екі шешімі бар, егер \(\displaystyle a>0{\small }\) болса:
\(\displaystyle x= \sqrt{a}\) немесе \(\displaystyle x= -\sqrt{a} \,{\small ; } \)
- бір шешімі бар (екі сәйкес шешім), \(\displaystyle a= 0{\small }\) болса:
\(\displaystyle x=0 {\small ; }\)
- шешімдері жоқ, егер \(\displaystyle a<0{\small }\) болса
Төмендегіні аламыз:
\(\displaystyle x-\frac{7}{2}= \sqrt{ \frac{41}{4}} \) немесе \(\displaystyle x-\frac{7}{2}= -\sqrt{ \frac{41}{4}} {\small , } \)
яғни
\(\displaystyle x-\frac{7}{2}=\frac{\sqrt{41}}{2}\) немесе \(\displaystyle x-\frac{7}{2}=-\frac{\sqrt{41}}{2} {\small ,} \)
\(\displaystyle x=\frac{7}{2}+\frac{\sqrt{41}}{2} \) немесе \(\displaystyle x= \frac{7}{2}-\frac{\sqrt{41}}{2} {\small .} \)
Осылайша,
\(\displaystyle x=\frac{7}{2}+\frac{\sqrt{41}}{2} \) немесе \(\displaystyle x= \frac{7}{2}-\frac{\sqrt{41}}{2} {\small .} \)
Жауабы: \(\displaystyle x=\frac{7}{2}+\frac{\sqrt{41}}{2} \) немесе \(\displaystyle x= \frac{7}{2}-\frac{\sqrt{41}}{2} {\small .} \)