Теория: Общий знаменатель рациональных дробей

Решение 1.

Найдём общий знаменатель дробей \(\displaystyle \frac{1}{(x+1)(x-2)}\) и \(\displaystyle \frac{1}{(x+1)(x-3)}{\small .}\)

Знаменатели \(\displaystyle (x+1)(x-2)\) и  \(\displaystyle (x+1)(x-3)\) имеют общий множитель \(\displaystyle (x+1){\small .}\)

Тогда общий знаменатель можно взять как произведение знаменателей, делённое на общий множитель:

\(\displaystyle \begin{aligned}\frac{(x+1)(x-2)(x+1)(x-3)}{(x+1)}&=\frac{(x+1)(x-2)\cancel{(x+1)}(x-3)}{\cancel{(x+1)}}=\\[10px]&=(x+1)(x-2)(x-3){\small .}\end{aligned}\)

Приведём дроби к знаменателю \(\displaystyle (x+1)(x-2)(x-3){\small .}\)

\(\displaystyle \frac{1}{(x+1)(x-2)}=\frac{\color{blue}{(x-3)}\cdot 1}{(x+1)(x-2)\color{blue}{(x-3)}}=\frac{(x-3)}{(x+1)(x-2)(x-3)}{\small ,}\)

\(\displaystyle \frac{1}{(x+1)(x-3)}=\frac{\color{green}{(x-2)}\cdot 1}{(x+1)\color{green}{(x-2)}(x-3)}=\frac{(x-2)}{(x+1)(x-2)(x-3)}{\small .}\)

Решение 2.

Найдём общий знаменатель дробей \(\displaystyle \frac{1}{(x+1)(x-2)}\) и \(\displaystyle \frac{1}{(x+1)(x-3)}{\small .}\)

Его можно взять как произведение множителей в наибольших степенях, взятых из

\(\displaystyle (x+1)(x-2)\) и  \(\displaystyle (x+1)(x-3)\small.\)

Получаем:

\(\displaystyle (x+1)^{\color{blue}{ 1}}(x-2)^{\color{blue}{ 1}}\) и  \(\displaystyle (x+1)^{\color{green}{ 1}}(x-3)^{\color{green}{ 1}}\) \(\displaystyle \color{red}{ \rightarrow}\) \(\displaystyle (x+1)^{\color{blue}{ 1}}(x-2)^{\color{blue}{ 1}}(x-3)^{\color{green}{ 1}}\)

Значит, получили общий знаменатель \(\displaystyle (x+1)(x-2)(x-3){\small .}\)

Приведём дроби к знаменателю \(\displaystyle (x+1)(x-2)(x-3){\small .}\)

\(\displaystyle \frac{1}{(x+1)(x-2)}=\frac{\color{blue}{(x-3)}\cdot 1}{(x+1)(x-2)\color{blue}{(x-3)}}=\frac{(x-3)}{(x+1)(x-2)(x-3)}{\small ,}\)

\(\displaystyle \frac{1}{(x+1)(x-3)}=\frac{\color{green}{(x-2)}\cdot 1}{(x+1)\color{green}{(x-2)}(x-3)}=\frac{(x-2)}{(x+1)(x-2)(x-3)}{\small .}\)