В ящике \(\displaystyle 10\) красных и \(\displaystyle 6\) зеленых шаров. Наудачу извлекаются два шара. Какова вероятность того, что они будут одноцветными?
Надо найти вероятность события, что оба шара одного цвета, то есть
оба шара красные или оба шара зеленые.
Так как события, что оба шара красные или оба шара зеленые, не могут произойти одновременно, то данные события несовместны, и мы можем применить правило.
Формула суммы вероятностей
Если события \(\displaystyle A\) и \(\displaystyle B\) несовместны, то есть наступление одного события исключает появление другого события, то тогда вероятность того, что наступит событие \(\displaystyle A\) или событие \(\displaystyle B{ \small ,}\) равна сумме вероятностей наступления событий \(\displaystyle A\) и \(\displaystyle B{ \small ,}\) то есть
\(\displaystyle P(A+ B)=P(A)+P(B){\small .}\)
\(\displaystyle P(\)оба шара красные + оба шара зеленые\(\displaystyle )=P(\)оба шара красные\(\displaystyle )+P(\)оба шара зеленые\(\displaystyle ){\small .}\)
Число благоприятных исходов равно числу пар красных шаров, то есть равно числу сочетаний из \(\displaystyle 10\) по \(\displaystyle 2{ \small .}\)
Оно равно \(\displaystyle C_{10}^{2}=\frac{10!}{2!\cdot (10-2)!}=45{\small .}\)
Число всех исходов равно числу всех пар шаров, то есть равно числу сочетаний из \(\displaystyle 10+6\) по \(\displaystyle 2{ \small .}\)
Оно равно \(\displaystyle C_{16}^{2}=\frac{16!}{2!\cdot (16-2)!}=120{\small .}\)
Значит,
\(\displaystyle P(\)оба шара красные\(\displaystyle )=\frac{45}{120}{\small .}\)
Число благоприятных исходов равно числу пар зеленых шаров, то есть равно числу сочетаний из \(\displaystyle 6\) по \(\displaystyle 2{\small .}\)
Оно равно \(\displaystyle C_{6}^{2}=\frac{6!}{2!\cdot (6-2)!}=15{\small .}\)
Число всех исходов равно числу всех пар шаров, то есть равно числу сочетаний из \(\displaystyle 10+6\) по \(\displaystyle 2{ \small .}\)
Оно равно \(\displaystyle C_{16}^{2}=\frac{16!}{2!\cdot (16-2)!}=120{\small .}\)
Значит,
\(\displaystyle P(\)оба шара зеленые\(\displaystyle )=\frac{15}{120}{\small .}\)
Таким образом,
\(\displaystyle P(\)оба шара красные + оба шара зеленые\(\displaystyle )=P(\)оба шара красные\(\displaystyle )+P(\)оба шара зеленые\(\displaystyle)=\)
\(\displaystyle =\frac{45}{120}+\frac{15}{120}=\frac{60}{120}=0{,}5{\small .}\)
Ответ: \(\displaystyle 0{,}5{\small .}\)