Задание
Если для положительных чисел \(\displaystyle a,\, b\) верно, что
\(\displaystyle a^{\,n}<b^{\,n}\) для некоторого натурального числа \(\displaystyle n{\small ,}\)
то
\(\displaystyle a<b{\small .}\)
Решение
Рассмотрим все возможные варианты:
- \(\displaystyle a<b {\small ,}\)
- \(\displaystyle a=b{\small ,}\)
- \(\displaystyle a>b{\small .}\)
Используя правило:
Правило
Если положительные числа \(\displaystyle a\) и \(\displaystyle b{\small ,}\) такие, что \(\displaystyle a<b {\small ,}\) то
\(\displaystyle a^{\, n}<b^{\, n} {\small ,}\)
для любого натурального числа \(\displaystyle n{\small .}\)
Получаем:
- Если \(\displaystyle a<b{\small ,}\) то \(\displaystyle a^{\,n}<b^{\,n}{\small .}\)
- Если \(\displaystyle a=b{\small ,}\) то \(\displaystyle a^{\,n}=b^{\,n}{\small .}\)
- Если \(\displaystyle b<a{\small ,}\) то \(\displaystyle b^{\,n}<a^{\,n}{\small .}\)
Таким образом, возможен только один случай, а именно
\(\displaystyle a<b{\small .}\)