Используя формулы сокращенного умножения, разложите многочлен на множители:
Свернем \(\displaystyle 4z^{\,10}-12z^{\,5}+9{\small , } \) воспользовавшись формулой квадрата разности.
Квадрат разности
Для любых чисел \(\displaystyle a, \, b\) верно
\(\displaystyle a^{\, 2}-2ab+b^{\, 2}=(a-b\,)^2.\)
Тогда
\(\displaystyle 4z^{\,10}-12z^{\,5}+9=\left(2z^{\,5}\right)^2-2\cdot 2z^{\,5}\cdot 3+3^2= \left(2z^{\,5}-3\right)^2{\small . } \)
Значит,
\(\displaystyle 4z^{\,10}-12z^{\,5}+9-z^{\,4}= \left(2z^{\,5}-3\right)^2-z^{\,4}{\small . } \)
Разложим получившееся выражение на множители, воспользовавшись формулой разности квадратов.
Разность квадратов
Для любых чисел \(\displaystyle a, b\) верно
\(\displaystyle a^{\,2}-b^{\,2}=(a+b\,)(a-b\,).\)
Имеем:
\(\displaystyle \left(2z^{\,5}-3\right)^2-z^{\,4}=\left(2z^{\,5}-3+z^{\,2}\right)\left(2z^{\,5}-3-z^{\,2}\right){\small . } \)
Или, переписывая многочлены в скобках в стандартном виде, получаем:
\(\displaystyle \left(2z^{\,5}-3+z^{\,2}\right)\left(2z^{\,5}-3-z^{\,2}\right)=\left(2z^{\,5}+z^{\,2}-3\right)\left(2z^{\,5}-z^{\,2}-3\right){\small . } \)
Таким образом,
\(\displaystyle 4z^{\,10}-12z^{\,5}+9-z^{\,4}=\left(2z^{\,5}+z^{\,2}-3\right)\left(2z^{\,5}-z^{\,2}-3\right){\small . } \)
Ответ: \(\displaystyle \left(2z^{\,5}+z^{\,2}-3\right)\left(2z^{\,5}-z^{\,2}-3\right){\small . } \)