Вынесите общий множитель со знаком минус и разложите на множители:
Сначала найдем общий множитель одночленов в исходном выражении.
1. Найдем наибольший общий делитель числовых коэффициентов с помощью разложения на простые множители:
- \(\displaystyle 63=3^2\cdot 7{\small ,}\)
- \(\displaystyle 42=2\cdot 3 \cdot 7{\small ,}\)
- \(\displaystyle 36=2^2\cdot 3^2{\small ,}\)
- \(\displaystyle 24=2^3\cdot 3{\small .}\)
Из разложения получаем, что наибольший общий делитель равен \(\displaystyle 3{\small .}\)
2. Вынесем переменную \(\displaystyle d\) в наименьшей степени (выбирая из \(\displaystyle d^{\,5}, \, d^{\, 9},\, d^{\, 8}\) и \(\displaystyle d^{\,12}\)), то есть \(\displaystyle d^{\,5}{\small .}\)
Таким образом, общий множитель равен \(\displaystyle 3d^{\,5}{\small .}\)
Вынесем \(\displaystyle 3d^{\,5}\) за скобки со знаком минус, как того требует условие задачи:
\(\displaystyle -63d^{\,5}+42d^{\,9}-36d^{\,8}+24d^{\,12}=-3d^{\,5}(21-14d^{\,4}+12d^{\,3}-8d^{\,7}){\small .}\)
Далее разложим многочлен \(\displaystyle 21-14d^{\,4}+12d^{\,3}-8d^{\,7}\) на множители методом группировки.
Запишем данный многочлен в стандартном виде:
\(\displaystyle 21-14d^{\,4}+12d^{\,3}-8d^{\,7}=-8d^{\,7}-14d^{\,4}+12d^{\,3}+21{\small .}\)
В методе группировки нельзя группировать одночлен самой старшей степени с одночленом самой младшей степени (младшая степень может быть равной нулю).
В нашем случае одночлен, содержащий старшую степень переменной, – это \(\displaystyle -8d^{\,7}\) (седьмая степень), а одночлен, содержащий младшую степень переменной, – это \(\displaystyle 21\) (нулевая степень). Следовательно, одночлены \(\displaystyle -8d^{\,7}\) и \(\displaystyle 21\) должны быть в разных скобках. Поэтому существует два варианта группировки:
1) \(\displaystyle -\color{red}{8d^{\,7}}-\color{red}{14d^{\,4}}+\color{blue}{12d^{\,3}}+\color{blue}{21}=(\color{red}{-8d^{\,7}-14d^{\,4}})+(\color{blue}{12d^{\,3}+21}){\small ,}\)
2) \(\displaystyle -\color{red}{8d^{\,7}}-\color{blue}{14d^{\,4}}+\color{red}{12d^{\,3}}+\color{blue}{21}=(\color{red}{-8d^{\,7}+12d^{\,3}})+(\color{blue}{-14d^{\,4}+21}){\small .}\)
Любой из этих вариантов приведет к разложению на множители, однако мы рассмотрим только первый вариант группировки:
\(\displaystyle (-8d^{\,7}-14d^{\,4})+(12d^{\,3}+21){\small .}\)
Найдем наибольший общий множитель одночленов, стоящих в первой скобке \(\displaystyle (-8d^{\,7}-14d^{\,4}){\small .}\)
- Согласно разложению на множители или алгоритму Евклида, наибольший общий делитель числовых коэффициентов равен \(\displaystyle НОД(8,14)=2{\small .}\)
- Переменной \(\displaystyle d\) в наименьшей степени является \(\displaystyle d^{\,4}\) (выбираем из \(\displaystyle d^{\,7}\) и \(\displaystyle d^{\,4}\)).
Значит, наибольший общий множитель одночленов \(\displaystyle -8d^{\,7}\) и \(\displaystyle -14d^{\,4}\) равен \(\displaystyle 2d^{\, 4}{\small .}\) Вынося его за скобки, получаем:
\(\displaystyle -8d^{\,7}-14d^{\,4}=2d^{\, 4}\,(-4d^{\,3}-7){\small .}\)
Далее найдем общий множитель одночленов, стоящих во второй скобке \(\displaystyle (12d^{\,3}+21){\small .}\)
- Согласно разложению на множители или алгоритму Евклида, наибольший общий делитель числовых коэффициентов равен \(\displaystyle НОД(12,21)=3{\small .}\)
- Переменной \(\displaystyle d\) в наименьшей степени является \(\displaystyle d^{\,0}=1\) (выбираем из \(\displaystyle d^{\,3}\) и \(\displaystyle d^{\,0}=1\)).
Значит, наибольший общий множитель одночленов \(\displaystyle 12d^{\,3}\) и \(\displaystyle 21\) равен \(\displaystyle 3{\small .}\) Вынося его за скобки, получаем:
\(\displaystyle 12d^{\,3}+21=3\,(4d^{\,3}+7){\small .}\)
Возвращаясь к исходному выражению, получаем:
\(\displaystyle (-8d^{\,7}-14d^{\,4})+(12d^{\,3}+21)=2d^{\, 4}\,(-4d^{\,3}-7)+3\,(4d^{\,3}+7){\small .}\)
Заметим, что множители \(\displaystyle (-4d^{\,3}-7)\) и \(\displaystyle (4d^{\,3}+7)\) отличаются только знаком, то есть
\(\displaystyle (-4d^{\,3}-7)=-(4d^{\,3}+7){\small .}\)
Поэтому заменим множитель \(\displaystyle (-4d^{\,3}-7)\) на \(\displaystyle -(4d^{\,3}+7)\):
\(\displaystyle \begin{array}{l}2d^{\,4}\,\color{red}{(-4d^{\,3}-7)}+3\,(4d^{\,3}+7)= \\[10px]\kern{5em} =2d^{\,4}\,\color{red}{\Big(-(4d^{\,3}+7)\Big)}+3\,(4d^{\,3}+7)= \\[10px]\kern{10em} =-2d^{\, 4}\,(4d^{\,3}+7)+3\,(4d^{\,3}+7).\end{array}\)
Теперь заметим, что оба выражения \(\displaystyle -2d^{\, 4}\,\color{blue}{(4d^{\,3}+7)}\) и \(\displaystyle 3\,\color{blue}{(4d^{\,3}+7)}\) имеют один и тот же множитель \(\displaystyle \color{blue}{(4d^{\,3}+7)}{\small .}\) Значит, его также можно вынести за скобки:
\(\displaystyle -2d^{\, 4}\,\color{blue}{(4d^{\,3}+7)}+3\,\color{blue}{(4d^{\,3}+7)}=\color{blue}{(4d^{\,3}+7)} (-2d^{\,4}+3){\small .}\)
Таким образом,
\(\displaystyle -8d^{\,7}-14d^{\,4}+12d^{\,3}+21=(4d^{\,3}+7)(-2d^{\,4}+3)\)
и
\(\displaystyle -63d^{\,5}+42d^{\,9}-36d^{\,8}+24d^{\,12}=-3d^{\,5}(21-14d^{\,4}+12d^{\,3}-8d^{\,7})=-{\bf 3}{\pmb d}^{\,{\bf 5}}({\bf 4}{\pmb d}^{\,{\bf 3}}+{\bf 7})(-{\bf 2}{\pmb d}^{\,{\bf 4}}+{\bf 3}){\small .}\)
Ответ: \(\displaystyle -3d^{\,5}(4d^{\,3}+7)(-2d^{\,4}+3){\small .}\)