Задание
При каком значении переменной \(\displaystyle x\) выполняется равенство:
\(\displaystyle \frac{x^{\,4}+3x^{\,3}-7x-21}{x^{\,3}-7}=5\)
\(\displaystyle x=\)
Решение
Разделим многочлен \(\displaystyle x^{\,4}+3x^{\,3}-7x-21\) на многочлен \(\displaystyle x^{\,3}-7\) в столбик:
| \(\displaystyle -\) | \(\displaystyle x^{\,4}+3x^{\,3}-7x-21\) | \(\displaystyle x^{\,3}-7\) | ||||||||||
| \(\displaystyle x^{\,4}-7x\) | \(\displaystyle x+3\) | |||||||||||
| \(\displaystyle \phantom{\,} -\) | \(\displaystyle 3x^{\,3}-21\) | |||||||||||
| \(\displaystyle 3x^{\,3}-21\) | ||||||||||||
| \(\displaystyle 0\phantom{-77x}\) | ||||||||||||
Тогда
\(\displaystyle \frac{x^{\,4}+3x^{\,3}-7x-21}{x^{\,3}-7}=x+3{\small .}\)
Следовательно, уравнение
\(\displaystyle \frac{x^{\,4}+3x^{\,3}-7x-21}{x^{\,3}-7}=5\)
можно заменить на
\(\displaystyle x+3=5{\small .}\)
Отсюда \(\displaystyle x=2{\small .}\)
Ответ:\(\displaystyle x=2{\small .}\)
Замечание / комментарий
Для строгости рассуждения заметим, что при \(\displaystyle x=2\) знаменатель дроби \(\displaystyle x^{\,3}-7\) не обращается в ноль.
Действительно, \(\displaystyle 2^3-7=8-7=1=\not 0{\small .}\)