Найдите произведение многочленов:
В ответе запишите многочлен в стандартном виде.
Для того чтобы перемножить скобки, сначала умножим каждый член из первых скобок на вторые скобки:
\(\displaystyle (\color{blue}{5x^{\,2}}-\color{green}{2x}+\color{red}{4x^{\,3}})\cdot (3+7x^{\,5})=\color{blue}{5x^{\,2}}\cdot (3+7x^{\,5})-\color{green}{2x} \cdot (3+7x^{\,5})+\color{red}{4x^{\,3}}\cdot (3+7x^{\,5}){\small .}\)
Далее умножим каждые скобки на стоящий перед ними множитель и приведем получившиеся одночлены к стандартному виду:
\(\displaystyle \begin{array}{l}\color{blue}{5x^{\,2}}\cdot (3+7x^{\,5})-\color{green}{2x}\cdot (3+7x^{\,5})+\color{red}{4x^{\,3}}\cdot (3+7x^{\,5})=\\\kern{1.5em} =\color{blue}{5x^{\,2}}\cdot 3+\color{blue}{5x^{\,2}}\cdot 7x^{\,5}-(\color{green}{2x}\cdot 3+\color{green}{2x}\cdot 7x^{\,5})+(\color{red}{4x^{\,3}}\cdot 3+\color{red}{4x^{\,3}}\cdot 7x^{\,5})=\\\kern{1.5em} =(5\cdot 3)x^{\,2}+(5\cdot 7)\cdot (x^{\,2}\cdot x^{\,5})-((2\cdot 3)x+(2\cdot 7)\cdot (x\cdot x^{\,5}))+((4\cdot 3)x^{\,3}+(4\cdot 7)\cdot (x^{\,3}\cdot x^{\,5}))=\\\kern{1.5em} =15x^{\,2}+35\cdot x^{\,2+5}-(6x+14\cdot x^{\,1+5})+(12x^{\,3}+28\cdot x^{\,3+5})=\\\kern{18em} =15x^{\,2}+35x^{\,7}-(6x+14x^{\,6})+(12x^{\,3}+28x^{\,8}){\small .}\end{array}\)
Раскроем скобки. Так как перед первыми скобками стоит знак минус, то все знаки внутри этих скобок изменятся на противоположные:
\(\displaystyle 15x^{\,2}+35x^{\,7}-(6x+14x^{\,6})+(12x^{\,3}+28x^{\,8})=15x^{\,2}+35x^{\,7}-6x-14x^{\,6}+12x^{\,3}+28x^{\,8}{\small .}\)
Приведем получившийся многочлен к стандартному виду, переписав одночлены в нем по убывающим степеням \(\displaystyle x\,{\small :}\)
\(\displaystyle 15x^{\,2}+35x^{\,7}-6x-14x^{\,6}+12x^{\,3}+28x^{\,8}=28x^{\,8}+35x^{\,7}-14x^{\,6}+12x^{\,3}+15x^{\,2}-6x{\small .}\)
Таким образом,
\(\displaystyle (5x^{\,2}-2x+4x^{\,3})(3+7x^{\,5})=28x^{\,8}+35x^{\,7}-14x^{\,6}+12x^{\,3}+15x^{\,2}-6x{\small .}\)
Ответ: \(\displaystyle 28x^{\,8}+35x^{\,7}-14x^{\,6}+12x^{\,3}+15x^{\,2}-6x{\small .}\)