Найдите произведение многочленов:
В ответе запишите многочлен в стандартном виде.
Для того чтобы перемножить скобки, сначала умножим каждый член из первых скобок на вторые скобки:
\(\displaystyle (\color{blue}{3x^{\,5}}-\color{green}{5x^{\,6}})\cdot (2+10x^{\,2})=\color{blue}{3x^{\,5}}\cdot (2+10x^{\,2})-\color{green}{5x^{\,6}} \cdot (2+10x^{\,2}){\small .}\)
Далее умножим каждые скобки на стоящий перед ними множитель и приведем получившиеся одночлены к стандартному виду:
\(\displaystyle \begin{array}{l}\color{blue}{3x^{\,5}}\cdot (2+10x^{\,2})-\color{green}{5x^{\,6}}\cdot (2+10x^{\,2})=\color{blue}{3x^{\,5}}\cdot 2+\color{blue}{3x^{\,5}}\cdot 10x^{\,2}-(\color{green}{5x^{\,6}}\cdot 2+\color{green}{5x^{\,6}}\cdot 10x^{\,2})=\\\kern{4em} =(3\cdot 2)\cdot x^{\,5}+(3\cdot 10)\cdot (x^{\,5}\cdot x^{\,2})-((5\cdot 2)\cdot x^{\,6}+(5\cdot 10)\cdot (x^{\,6}\cdot x^{\,2}))=\\\kern{8em} =6x^{\,5}+30\cdot x^{\,5+2}-(10x^{\,6}+50\cdot x^{\,6+2})=6x^{\,5}+30x^{\,7}-(10x^{\,6}+50x^{\,8}){\small .}\end{array}\)
Раскроем скобки. Так как перед скобками стоит знак минус, то все знаки внутри этих скобок изменятся на противоположные:
\(\displaystyle 6x^{\,5}+30x^{\,7}-(10x^{\,6}+50x^{\,8})=6x^{\,5}+30x^{\,7}-10x^{\,6}-50x^{\,8}{\small .}\)
Приведем получившийся многочлен к стандартному виду, переписав одночлены в нем по убывающим степеням \(\displaystyle x\,{\small :}\)
\(\displaystyle 6x^{\,5}+30x^{\,7}-10x^{\,6}-50x^{\,8}=-50x^{\,8}+30x^{\,7}-10x^{\,6}+6x^{\,5}{\small .}\)
Таким образом,
\(\displaystyle (3x^{\,5}-5x^{\,6})(2+10x^{\,2})=-50x^{\,8}+30x^{\,7}-10x^{\,6}+6x^{\,5}{\small .}\)
Ответ: \(\displaystyle -50x^{\,8}+30x^{\,7}-10x^{\,6}+6x^{\,5}{\small .}\)