Упростите выражение:
В ответе запишите многочлен в стандартном виде.
1. Сначала преобразуем выражение в первых скобках к многочлену в стандартном виде:
\(\displaystyle \begin{aligned} y^{\,2}\cdot 7y-2y^{\,2}-3= 7\cdot (\,y^{\,2}\cdot y\,)-2y^{\,2}-3= 7\cdot y^{\,2+1}-2y^{\,2}-3= 7y^{\,3}-2y^{\,2}-3 {\small .}\end{aligned}\)
Тогда
\(\displaystyle y^{\,3}(\,y^{\,2}\cdot 7y-2y^{\,2}-3)+2y\,(\,y^{\,4}+10y^{\,2}-1)= y^{\,3}(7y^{\,3}-2y^{\,2}-3)+2y\,(\,y^{\,4}+10y^{\,2}-1) {\small .}\)
2. Теперь умножим каждые скобки на множитель перед ними.
Первые скобки умножим на \(\displaystyle y^{\,3}{\small ,}\) результат приведем к стандартному виду:
\(\displaystyle \begin{aligned} \color{blue}{y^{\,3}}\cdot (7y^{\,3}-2y^{\,2}-3)&= \color{blue}{y^{\,3}}\cdot 7y^{\,3}-\color{blue}{y^{\,3}}\cdot 2y^{\,2}-\color{blue}{y^{\,3}}\cdot 3=\\ &=7\cdot (\,y^{\,3}\cdot y^{\,3})-2\cdot (\,y^{\,3}\cdot y^{\,2})-3y^{\,3}=\\ &=7\cdot y^{\,3+3}-2\cdot y^{\,3+2}-3y^{\,3}=\\ &=7y^{\,6}-2y^{\,5}-3y^{\,3} {\small .}\end{aligned}\)
Вторые скобки умножим на \(\displaystyle 2y{\small ,}\)результат приведем к стандартному виду:
\(\displaystyle \begin{aligned} \color{blue}{2y}\cdot (\,y^{\,4}+10y^{\,2}-1)&= \color{blue}{2y}\cdot y^{\,4}+\color{blue}{2y}\cdot 10y^{\,2}-\color{blue}{2y}\cdot 1=\\ &=2\cdot (\,y\cdot y^{\,4})+(2\cdot 10)\cdot (\,y\cdot y^{\,2})-2y=\\ &=2\cdot y^{\,1+4}+20\cdot y^{\,1+2}-2y=\\ &=2y^{\,5}+20y^{\,3}-2y {\small .}\end{aligned}\)
Поэтому
\(\displaystyle y^{\,3}(7y^{\,3}-2y^{\,2}-3)+2y\,(\,y^{\,4}+10y^{\,2}-1)= (7y^{\,6}-2y^{\,5}-3y^{\,3})+(2y^{\,5}+20y^{\,3}-2y\,) {\small .}\)
3. Упростим полученное выражение, раскрыв скобки и приведя подобные слагаемые:
\(\displaystyle \begin{aligned} (7y^{\,6}-2y^{\,5}-3y^{\,3})+(2y^{\,5}+20y^{\,3}-2y\,)&= 7y^{\,6}-2\color{blue}{y^{\,5}}-3\color{green}{y^{\,3}}+2\color{blue}{y^{\,5}}+20\color{green}{y^{\,3}}-2y=\\ &=7y^{\,6}+(-2\color{blue}{y^{\,5}}+2\color{blue}{y^{\,5}})+(-3\color{green}{y^{\,3}}+20\color{green}{y^{\,3}})-2y=\\ &=7y^{\,6}+(-2+2)\color{blue}{y^{\,5}}+(-3+20)\color{green}{y^{\,3}}-2y=\\ &=7y^{\,6}+0\cdot \color{blue}{y^{\,5}}+17\color{green}{y^{\,3}}-2y=\\ &=7y^{\,6}+17\color{green}{y^{\,3}}-2y {\small .}\end{aligned}\)
Таким образом,
\(\displaystyle y^{\,3}(\,y^{\,2}\cdot 7y-2y^{\,2}-3)+2y\,(\,y^{\,4}+10y^{\,2}-1)=7y^{\,6}+17y^{\,3}-2y{\small .}\)
Ответ: \(\displaystyle 7y^{\,6}+17y^{\,3}-2y{\small .}\)