Уравнение \(\displaystyle \left(25^{\cos(x)}\right)^{\sin(x)}=5^{\sqrt{2}\sin(x)}\) равносильно двум уравнениям:
\(\displaystyle \sin(x)=0\) или \(\displaystyle \cos(x)=\frac{\sqrt{2}}{2}{\small .}\)
Уравнение \(\displaystyle \cos(x)=\frac{\sqrt{2}}{2}\) имеет решения:
\(\displaystyle x_1=\frac{\pi}{4}+2\pi n,\,n\in\mathbb{Z}\) и \(\displaystyle x_2=-\frac{\pi}{4}+2\pi n\ , \, n\in \mathbb{Z} {\small .}\)
Выберите корни уравнения \(\displaystyle \cos(x)=\frac{\sqrt{2}}{2}\) из промежутка \(\displaystyle \left[2\pi;\,\frac{7\pi}{2}\right]{\small.}\)
\(\displaystyle x_1=\frac{9\pi}{4}\)
Выберем корни из отрезка \(\displaystyle \left[{2\pi};\,{\frac{7\pi}{2}}\right]{\small .}\)
Мы ищем целые значения \(\displaystyle n\) такие, что
\(\displaystyle 2\pi\leqslant x_1 \leqslant \frac{7\pi}{2}{ \small .}\)
То есть
\(\displaystyle 2\pi\leqslant \frac{\pi}{4}+2\pi n\leqslant \frac{7\pi}{2}{ \small .}\)
Разделим неравенство на положительное число \(\displaystyle \pi{\small :}\)
\(\displaystyle 2\leqslant \frac{1}{4}+2n\leqslant \frac{7}{2}{\small .}\)
Вычтем из каждой части \(\displaystyle \frac{1}{4}{\small :}\)
\(\displaystyle 2- \frac{1}{4}\leqslant 2n\leqslant \frac{7}{2}-\frac{1}{4} {\small ,}\)
\(\displaystyle \frac{7}{4}\leqslant2n\leqslant \frac{13}{4}{ \small .}\)
Чтобы выделить \(\displaystyle n{ \small ,}\) разделим неравенства на \(\displaystyle 2{\small : }\)
\(\displaystyle \frac{7}{8}\leqslant n \leqslant \frac{13}{8}{ \small .}\)
Единственное целое число в этом промежутке – это \(\displaystyle 1,\) то есть \(\displaystyle n=1{\small .}\)
Подставляя \(\displaystyle n=1\) в \(\displaystyle \frac{\pi}{4}+2\pi n{ \small ,}\) получаем:
\(\displaystyle \frac{\pi}{4}+2\pi \cdot 1=\frac{9\pi}{4}{\small .}\)
Мы ищем целые значения \(\displaystyle n\) такие, что
\(\displaystyle 2\pi\leqslant x_2 \leqslant \frac{7\pi}{2}{ \small .}\)
То есть
\(\displaystyle 2\pi\leqslant -\frac{\pi}{4}+2\pi n\leqslant \frac{7\pi}{2}{ \small .}\)
Разделим неравенство на положительное число \(\displaystyle \pi{\small :}\)
\(\displaystyle 2\leqslant -\frac{1}{4}+2n\leqslant \frac{7}{2}{\small .}\)
Прибавим к каждой части \(\displaystyle \frac{1}{4}{\small :}\)
\(\displaystyle 2+ \frac{1}{4}\leqslant 2n\leqslant \frac{7}{2}+\frac{1}{4} {\small ,}\)
\(\displaystyle \frac{9}{4}\leqslant2n\leqslant \frac{15}{4}{ \small .}\)
Чтобы выделить \(\displaystyle n{ \small ,}\) разделим неравенства на \(\displaystyle 2{\small : }\)
\(\displaystyle \frac{9}{8}\leqslant n \leqslant \frac{15}{8}{ \small ,}\)
Целых чисел в данном промежутке НЕТ.
Таким образом, уравнение \(\displaystyle \cos(x)=\frac{\sqrt{2}}{2}\) на отрезке \(\displaystyle \left[2\pi;\, \frac{7\pi}{2}\right]\) имеет одно решение \(\displaystyle \frac{9\pi}{4}{\small.}\)
Ответ: \(\displaystyle \frac{9\pi}{4}{\small.}\)