На рисунке изображены графики функций \(\displaystyle f\left(x\right)=\dfrac{k}{x}\) и \(\displaystyle g\left(x\right)=ax+b{ \small ,}\) которые пересекаются в точках \(\displaystyle A\) и \(\displaystyle B{ \small .}\) Найдите ординату точки \(\displaystyle B{ \small .}\)
По условию задачи, графики функций \(\displaystyle f\left(x\right)=\frac{4}{x}\) и \(\displaystyle g\left(x\right)=\frac{1}{2}x+1\) пересекаются
в точках \(\displaystyle A\) и \(\displaystyle B{ \small .}\)
Точку \(\displaystyle A\) видно на рисунке, а точку \(\displaystyle B\) – нет.
1. Найдем неизвестный коэффициент \(\displaystyle k\) из уравнения гиперболы \(\displaystyle f\left(x\right)=\frac{k}{x}{ \small .}\)
По рисунку видим, что точка \(\displaystyle A\) имеет координаты \(\displaystyle (2;1){\small.}\)
Точка \(\displaystyle A\) лежит на графике функции \(\displaystyle f\left(x\right)=\frac{k}{x}{ \small .}\) Значит, координаты точки \(\displaystyle A\) удовлетворяют уравнению \(\displaystyle y=\frac{k}{x}{ \small .} \)
Используем это для нахождения коэффициента \(\displaystyle k{\small.}\)
Значит, функция, графиком которой является гипербола, задаётся формулой:
\(\displaystyle f\left(x\right)=\frac{2}{x}{ \small .}\)
2. Найдем коэффициенты \(\displaystyle a\) и \(\displaystyle b\) из уравнения прямой \(\displaystyle g\left(x\right)=ax+b{ \small .}\)
По рисунку видим, что точки \(\displaystyle A\) c координатами \(\displaystyle (2;1)\) и \(\displaystyle C\) c координатами \(\displaystyle (1;-4)\) принадлежат графику функции \(\displaystyle g\left(x\right)=ax+b{ \small .}\)
Подставим координаты точек \(\displaystyle A(2;\,1)\) и \(\displaystyle C(1;-4)\) в уравнение прямой \(\displaystyle y=ax+b\,{\small . } \)
Точка \(\displaystyle A(\color{blue}{ 2};\color{green}{1}) \) с координатами \(\displaystyle x=\color{blue}{ 2}\) и \(\displaystyle y=\color{green}{ 1}{\small , }\) поэтому
\(\displaystyle \color{green}{1}=a\cdot \color{blue}{ 2}+b \)
или, что то же самое,
\(\displaystyle 2a+b=1{\small . }\)
Точка \(\displaystyle C(\color{blue}{ 1};\color{green}{ -4}) \) с координатами \(\displaystyle x=\color{blue}{ 1}\) и \(\displaystyle y=\color{green}{ -4}{\small , }\) поэтому
\(\displaystyle \color{green}{ -4}=a\cdot \color{blue}{ 1}+b {\small , }\)
или, что то же самое,
\(\displaystyle a+b=-4{\small . } \)
Получили два уравнения для коэффициентов \(\displaystyle a \) и \(\displaystyle b{\small . } \) Теперь можем записать систему уравнений:
\(\displaystyle \left\{\begin{aligned}2a+b&=1{\small , }\\a+b&=-4{\small . }\end{aligned}\right.\)
Решим эту систему.
Таким образом, \(\displaystyle a=5 \) и \(\displaystyle b=-9{\small . } \)
Подставляя найденные значения для \(\displaystyle a \) и \(\displaystyle b \) в уравнение прямой \(\displaystyle y=ax+b{\small , } \) получаем:
\(\displaystyle y=5x-9{\small . } \)
3. Найдем абсциссы точек \(\displaystyle A\) и \(\displaystyle B{ \small .}\)
Точки \(\displaystyle A\) и \(\displaystyle B\) – это точки пересечения графиков функций \(\displaystyle f\left(x\right)=\frac{2}{x}\) и \(\displaystyle g\left(x\right)=5x-9.\) Значит, координаты этих точек удовлетворяют и уравнению гиперболы, и уравнению прямой
\(\displaystyle \left\{\begin{aligned}y&=\frac{2}{x}{ \small ,}\\y&=5x-9{ \small .}\end{aligned}\right. \)
Так как \(\displaystyle y=\frac{2}{x}\) и \(\displaystyle y=5x-9{ \small ,}\) то
\(\displaystyle 5x-9=\frac{2}{x} { \small .}\)
Решим полученное уравнение:
Перенесем все в левую часть и приведем к общему знаменателю.
\(\displaystyle 5x-9-\frac{2}{x}= 0 { \small ,}\)
\(\displaystyle \frac{5x^2-9x-2}{x}=0 { \small .}\)
Дробь равна нулю, если числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю.
Получаем систему:
\(\displaystyle \left\{\begin{aligned}5x^2-9x-2=&0{ \small ,}\\x \,\cancel=\,&0{ \small .}\end{aligned}\right. \)
Решим квадратное уравнение \(\displaystyle 5x^2-9x-2=0{\small.}\)
Оба корня \(\displaystyle x_1=-0{,}2\) и \(\displaystyle x_2=2\) удовлетворяют ограничению \(\displaystyle x\,\cancel=\,0 {\small.}\) Значит, они являются корнями исходного уравнения.
Таким образом, абсциссы точек пересечения графиков функций \(\displaystyle f\left(x\right)=\frac{2}{x}\) и \(\displaystyle g\left(x\right)=4x-2\) равны
\(\displaystyle x_1=-0{,}2\) и \(\displaystyle x_2=2{\small.}\)
\(\displaystyle x_2=2\) – это абсцисса точки \(\displaystyle A{\small.}\)
Значит, точке \(\displaystyle B\) соответствует меньшая из найденных абсцисс \(\displaystyle x_1=-0{,}2{\small.}\)
4. Найдем ординату точки \(\displaystyle B{\small,}\) подставив найденное значение \(\displaystyle x\) в уравнение гиперболы или прямой.
Воспользуемся уравнением прямой \(\displaystyle y=5x-9{\small:}\)
\(\displaystyle y=5 \cdot \left( -0{,}2\right)-9=-1-9=-10{\small.}\)
Значит, \(\displaystyle y=-10\) – ордината точки \(\displaystyle B{\small.}\)
Ответ: \(\displaystyle -10{\small.}\)