На рисунке изображены графики функций \(\displaystyle f\left(x\right)=\dfrac{4}{x}\) и \(\displaystyle g\left(x\right)=\dfrac{1}{2}x+1{ \small ,}\) которые пересекаются в точках \(\displaystyle A\) и \(\displaystyle B{ \small .}\) Найдите ординату точки \(\displaystyle B{ \small .}\)
По условию задачи, графики функций \(\displaystyle f\left(x\right)=\frac{4}{x}\) и \(\displaystyle g\left(x\right)=\frac{1}{2}x+1\) пересекаются
в точках \(\displaystyle A\) и \(\displaystyle B{ \small .}\)
Точку \(\displaystyle A\) видно на рисунке, а точку \(\displaystyle B\) – нет.
Точки \(\displaystyle A\) и \(\displaystyle B\) – это точки пересечения графиков функций \(\displaystyle f\left(x\right)=\frac{4}{x}\) и \(\displaystyle g\left(x\right)=\frac{1}{2}x+1{ \small .}\)
Значит, координаты этих точек удовлетворяют и уравнению гиперболы, и уравнению прямой:
\(\displaystyle \left\{\begin{aligned}y&=\frac{4}{x}{ \small ,}\\y&=\frac{1}{2}x+1{ \small .}\end{aligned}\right. \)
Так как \(\displaystyle y=\frac{4}{x} \) и \(\displaystyle y=\frac{1}{2}x+1{ \small ,} \) то
\(\displaystyle \frac{1}{2}x+1=\frac{4}{x} { \small .}\)
Решим полученное уравнение.
Перенесем все в левую часть и приведем к общему знаменателю.
\(\displaystyle \frac{1}{2}x+1-\frac{4}{x}= 0 { \small ,} \)
\(\displaystyle \frac{x^2+2x-8}{2x}= 0 { \small .}\)
Дробь равна нулю, если числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю.
Получаем систему:
\(\displaystyle \left\{\begin{aligned}x^2+2x-8=&0{ \small ,}\\2x \,\cancel{=}\,&0{ \small ;}\end{aligned}\right. \)
\(\displaystyle \left\{\begin{aligned}x^2+2x-8=&0{ \small ,}\\x \,\cancel{=}\,&0{ \small .}\end{aligned}\right. \)
Решим квадратное уравнение \(\displaystyle x^2+2x-8=0{ \small .}\)
Оба корня \(\displaystyle x_1=-4\) и \(\displaystyle x_2=2\) удовлетворяют ограничению \(\displaystyle x\,\cancel{=}\,0 {\small.}\) Значит, они являются корнями исходного уравнения.
Таким образом, абсциссы точек пересечения графиков функций \(\displaystyle f\left(x\right)=\frac{4}{x}\) и \(\displaystyle g\left(x\right)=\frac{1}{2}x+1\) равны
\(\displaystyle x_1=-4\) и \(\displaystyle x_2=2{\small.}\)
Значения \(\displaystyle x_1=-4\) и \(\displaystyle x_2=2\) соответствуют двум точкам пересечения \(\displaystyle A \) и \(\displaystyle B{\small .} \)
Точка \(\displaystyle B{ \small ,}\) которой не видно на рисунке, расположена левее точки \(\displaystyle A{\small.}\)
Значит, абсцисса точки \(\displaystyle B\) меньше, чем абсцисса точки \(\displaystyle A{\small .}\)
Поэтому точке \(\displaystyle B\) соответствует \(\displaystyle x_1=-4{\small.}\)
Найдем ординату точки \(\displaystyle B{\small,}\) подставив найденное значение \(\displaystyle x=-4\) в уравнение гиперболы или прямой.
Воспользуемся уравнением гиперболы \(\displaystyle y=\frac{4}{x}{\small:}\)
\(\displaystyle y=\dfrac{4}{x}=\dfrac{4}{-4\phantom{1}}=-1{\small.}\)
Значит, \(\displaystyle y=-1\) – ордината точки \(\displaystyle B{\small.}\)
Ответ: \(\displaystyle -1{\small.}\)