На рисунке изображён график функции \(\displaystyle f(x)=a^{x +b}{\small .}\) Найдите значение \(\displaystyle x,\) при котором \(\displaystyle f(x)=32{\small .}\)
\(\displaystyle x=\)
Чтобы найти значения \(\displaystyle x{\small ,}\) при которых \(\displaystyle f(x)=32{ \small ,}\)
- найдём неизвестные коэффициенты \(\displaystyle a\) и \(\displaystyle b{ \small ,}\)
- решим уравнение \(\displaystyle a^{x +b}=32{ \small .}\)
В условии дана показательная функция \(\displaystyle f(x)=a^{x +b} { \small .}\)
Так как показательная функция определена только для положительного основания, отличного от единицы, то имеем ограничения на параметр \(\displaystyle a { \small :}\)
\(\displaystyle a>0{ \small ,}\) \(\displaystyle a\,\cancel{=}\, 1{ \small .}\)
Составим систему уравнений относительно \(\displaystyle a\) и \(\displaystyle b{\small}\) и решим её.
Отметим, что точки \(\displaystyle (\color{blue}{-3};\color{blue}{1})\) и \(\displaystyle (\color{green}{1};\color{green}{4})\) лежат на графике функции.
Значит,
- при подстановке координат \(\displaystyle x=\color{blue}{-3}\) и \(\displaystyle y=\color{blue}{1}\) в уравнение \(\displaystyle y=a^{x +b}\) получим верное равенство;
- при подстановке координат\(\displaystyle x=\color{green}{1}\) и \(\displaystyle y=\color{green}{4}\) в уравнение \(\displaystyle y=a^{x +b}\) получим верное равенство.
Таким образом, получаем систему уравнений
\(\displaystyle \left\{\begin{aligned}\color{blue}{1}&=a^{\color{blue}{-3} +b}{ \small ,}\\\color{green}{4}&=a^{\color{green}{1} +b}{ \small .}\end{aligned}\right. \)
Учитывая, что \(\displaystyle a>0{ \small ,}\) \(\displaystyle a\,\cancel{=}\, 1{ \small ,}\) перепишем первое уравнение системы в виде:
\(\displaystyle a^0=a^{-3+b}{ \small .}\)
Отсюда
\(\displaystyle -3+b=0{ \small ,}\)
то есть
\(\displaystyle b=3{ \small .}\)
Подставим во второе уравнение системы \(\displaystyle b=3{ \small :}\)
\(\displaystyle 4=a^{1+3}=a^4{ \small .}\)
Поскольку \(\displaystyle a>0{ \small ,}\) то
\(\displaystyle a=\sqrt[4]{4}=\sqrt[4]{2^{2}} =\sqrt2{ \small .}\)
Итак,
\(\displaystyle a=\sqrt2\) и \(\displaystyle b=3{ \small .}\)
Таким образом, исходная функция имеет вид:
\(\displaystyle y=(\sqrt2) ^{x +3}{ \small .}\)
Найдём те значения \(\displaystyle x{ \small ,}\) при которых значения функции \(\displaystyle f(x)\) равны \(\displaystyle 32{ \small .}\)
Все такие \(\displaystyle x\) удовлетворяют уравнению
\(\displaystyle (\sqrt2) ^{x +3}=32{ \small .}\)
Решим его.
\(\displaystyle (\sqrt2) ^{x +3}=(\sqrt2) ^{10}{ \small ,}\)
\(\displaystyle x+3=10{ \small ,}\)
\(\displaystyle x=7{ \small .}\)
Ответ: \(\displaystyle x=7{ \small .}\)