Найдите куб разности:
\(\displaystyle (2s\,)^3-84s^{\,2}t+294st^{\,2}-(7t\,)^3=\big(\)\(\displaystyle \big)^3\)
Первый способ.
Известно, что выражение \(\displaystyle (2s\,)^3-84s^{\,2}t+294st^{\,2}-(7t\,)^3\) является полным кубом разности.
Куб разности
Для любых чисел \(\displaystyle a, b\) верно
\(\displaystyle (a-b\,)^3=a^{\,3}-3a^{\,2}b+3ab^{\,2}-b^{\,3}.\)
Перепишем \(\displaystyle 84s^{\,2}t\) и \(\displaystyle 294st^{\,2}\) как утроенные произведения так, чтобы один из множителей был в квадрате:
\(\displaystyle 84s^{\,2}t=3\cdot 4s^{\,2}\cdot 7t=3\cdot (2s\,)^2 \cdot 7t,\)
\(\displaystyle 294st^{\,2}=3\cdot 2s \cdot 49t^{\,2}=3\cdot 2s \cdot (7t\,)^2.\)
Тогда
\(\displaystyle (2s\,)^3-84s^{\,2}t+294st^{\,2}-(7t\,)^3=(2s\,)^3-3\cdot (2s\,)^2 \cdot 7t +3\cdot 2s \cdot (7t\,)^2-(7t\,)^3.\)
Сравнивая равенства
\(\displaystyle \begin{aligned} \begin{array}{r} \color{blue}{a}^{\,3}\\ (\color{blue}{2s}\,)^3 \end{array} \kern{-0.2em} \begin{array}{l} -\\ - \end{array} \kern{-0.3em} \begin{array}{c} 3\color{blue}{a}^{\,2}\color{green}{b}\\ 3\cdot (\color{blue}{2s}\,)^2\cdot \color{green}{7t} \end{array} \kern{-0.2em} \begin{array}{l} +\\ + \end{array} \kern{-0.3em} \begin{array}{c} 3\color{blue}{a}\color{green}{b}^{\,2}\\ 3\cdot \color{blue}{2s}\cdot (\color{green}{7t}\,)^2 \end{array} \begin{array}{l} -\color{green}{b}^{\,3}\\ -(\color{green}{7t}\,)^3 \end{array} \begin{array}{l} =(\color{blue}{a}-\color{green}{b}\,)^3\\ =(\,\color{blue}{?\,}-\,\color{green}{?\,})^3, \end{array} \end{aligned}\)
видим, что они в точности совпадают, если \(\displaystyle a=2s\) и \(\displaystyle b=7t.\)
Таким образом,
\(\displaystyle (2s\,)^3-84s^{\,2}t+294st^{\,2}-(7t\,)^3=(2s-7t\,)^3.\)
Ответ: \(\displaystyle ({\bf 2s-7t}\,)^3.\)
Второй способ.
Известно, что выражение \(\displaystyle (2s\,)^3-84s^{\,2}t+294st^{\,2}-(7t\,)^3\) является полным кубом разности.
Значит,
\(\displaystyle (2s\,)^3-84s^{\,2}t+294st^{\,2}-(7t\,)^3=(a-b\,)^3\)
для некоторых \(\displaystyle a\) и \(\displaystyle b,\) которые надо найти.
Напомним формулу "куб разности".
Куб разности
Для любых чисел \(\displaystyle a, b\) верно
\(\displaystyle (a-b\,)^3=a^{\,3}-3a^{\,2}b+3ab^{\,2}-b^{\,3}.\)
Следовательно,
\(\displaystyle (2s\,)^3-84s^{\,2}t+294st^{\,2}-(7t\,)^3=a^{\,3}-3a^{\,2}b+3ab^{\,2}-b^{\,3}.\)
Приравняем выражения, стоящие в третьих степенях. Например,
\(\displaystyle \color{blue}{a^{\, 3}}-3a^{\,2}b+3ab^{\,2}-\color{green}{b^{\, 3}}=\color{blue}{(2s\,)^3}-84s^{\,2}t+294st^{\,2}-\color{green}{(7t\,)^3},\)
\(\displaystyle \color{blue}{a^{\,3}}=\color{blue}{(2s\,)^3}\) и \(\displaystyle \color{green}{b^{\,3}}=\color{green}{(7t\,)^3}.\)
Тогда можно предположить, что \(\displaystyle a=2s\) и \(\displaystyle b=7t.\)
1. Очевидно, что два равенства \(\displaystyle \color{blue}{a^{\,3}}=\color{blue}{(2s\,)^3}\) и \(\displaystyle \color{green}{b^{\,3}}=\color{green}{(7t\,)^3}\) выполняются.
2. Далее надо проверить равенство утроенных произведений
\(\displaystyle -3a^{\,2}b+3ab^{\,2}=-84s^{\,2}t+294st^{\,2}\)
при \(\displaystyle a=2s\) и \(\displaystyle b=7t.\)
Подставляем \(\displaystyle a=2s\) и \(\displaystyle b=7t\) и получаем \(\displaystyle -3\cdot (2s\,)^2\cdot 7t+3\cdot 2s\cdot (7t\,)^2=-84s^{\,2}t+294st^{\,2},\) верное равенство.
В итоге мы получили равенство
\(\displaystyle (2s\,)^3-84s^{\,2}t+294st^{\,2}-(7t\,)^3=a^{\,3}-3a^{\,2}b+3ab^{\,2}-b^{\,3}\)
при \(\displaystyle a=2s\) и \(\displaystyle b=7t.\)
Следовательно,
\(\displaystyle (2s\,)^3-84s^{\,2}t+294st^{\,2}-(7t\,)^3=(a-b\,)^3\)
при \(\displaystyle a=2s\) и \(\displaystyle b=7t,\) то есть
\(\displaystyle (2s\,)^3-84s^{\,2}t+294st^{\,2}-(7t\,)^3=(2s-7t\,)^3.\)
Ответ: \(\displaystyle ({\bf 2s-7t}\,)^3.\)-