Найдите куб разности:
\(\displaystyle (5t\,)^3-3\cdot (5t\,)^2\cdot 7+3\cdot 5t\cdot 7^2-7^3=\big(\)\(\displaystyle \big)^3\)
Первый способ.
Известно, что выражение \(\displaystyle (5t\,)^3-3\cdot (5t\,)^2\cdot 7+3\cdot 5t\cdot 7^2-7^3\) является полным кубом разности.
Куб разности
Для любых чисел \(\displaystyle a, b\) верно
\(\displaystyle (a-b\,)^3=a^{\,3}-3a^{\,2}b+3ab^{\,2}-b^{\,3}.\)
Сравнивая равенства
\(\displaystyle \begin{aligned} \begin{array}{r} \color{blue}{a}^{\,3}\\ (\color{blue}{5t}\,)^3 \end{array} \kern{-0.2em} \begin{array}{l} -\\ - \end{array} \kern{-0.3em} \begin{array}{c} 3\color{blue}{a}^{\,2}\color{green}{b}\\ 3\cdot (\color{blue}{5t}\,)^2\cdot \color{green}{7} \end{array} \kern{-0.2em} \begin{array}{l} +\\ + \end{array} \kern{-0.3em} \begin{array}{c} 3\color{blue}{a}\color{green}{b}^{\,2}\\ 3\cdot \color{blue}{5t}\cdot \color{green}{7}^2 \end{array} \begin{array}{l} -\color{green}{b}^{\,3}\\ -\color{green}{7}^3 \end{array} \begin{array}{l} =(\color{blue}{a}-\color{green}{b}\,)^3\\ =(\,\color{blue}{?\,}-\,\color{green}{?\,})^3, \end{array} \end{aligned}\)
видим, что они в точности совпадают, если \(\displaystyle a=5t\) и \(\displaystyle b=7.\)
Поэтому
\(\displaystyle (5t\,)^3-3\cdot (5t\,)^2\cdot 7+3\cdot 5t\cdot 7^2-7^3=(5t-7)^3.\)
Ответ: \(\displaystyle ({\bf 5t-7})^3.\)
Второй способ.
Известно, что выражение \(\displaystyle (5t\,)^3-3\cdot (5t\,)^2\cdot 7+3\cdot 5t\cdot 7^2-7^3\) является полным кубом разности.
Значит,
\(\displaystyle (5t\,)^3-3\cdot (5t\,)^2\cdot 7+3\cdot 5t\cdot 7^2-7^3=(a-b\,)^3\)
для некоторых \(\displaystyle a\) и \(\displaystyle b,\) которые надо найти.
Напомним формулу "куб разности".
Куб разности
Для любых чисел \(\displaystyle a, b\) верно
\(\displaystyle (a-b\,)^3=a^{\,3}-3a^{\,2}b+3ab^{\,2}-b^{\,3}.\)
Следовательно,
\(\displaystyle (5t\,)^3-3\cdot (5t\,)^2\cdot 7+3\cdot 5t\cdot 7^2-7^3=a^{\,3}-3a^{\,2}b+3ab^{\,2}-b^{\,3}.\)
Приравняем выражения, стоящие в третьих степенях. Например,
\(\displaystyle \color{blue}{a^{\, 3}}-3a^{\,2}b+3ab^{\,2}-\color{green}{b^{\, 3}}=\color{blue}{(5t\,)^3}-3\cdot (5t\,)^2\cdot 7+3\cdot 5t\cdot 7^2-\color{green}{7^3},\)
\(\displaystyle \color{blue}{a^{\,3}}=\color{blue}{(5t\,)^3}\) и \(\displaystyle \color{green}{b^{\,3}}=\color{green}{7^3}.\)
Тогда можно предположить, что \(\displaystyle a=5t\) и \(\displaystyle b=7.\)
1. Очевидно, что два равенства \(\displaystyle \color{blue}{a^{\,3}}=\color{blue}{(5t\,)^3}\) и \(\displaystyle \color{green}{b^{\,3}}=\color{green}{7^3}\) выполняются.
2. Далее надо проверить равенство утроенных произведений
\(\displaystyle -3a^{\,2}b+3ab^{\,2}=-3\cdot (5t\,)^{\,2}\cdot 7+3\cdot 5t\cdot 7^2\)
при \(\displaystyle a=5t\) и \(\displaystyle b=7.\)
Подставляем \(\displaystyle a=5t\) и \(\displaystyle b=7\) и получаем
\(\displaystyle -3\cdot (5t\,)^2\cdot 7+3\cdot 5t\cdot 7^2=-3\cdot (5t\,)^2\cdot 7+3\cdot 5t\cdot 7^2,\)
верное равенство.
В итоге мы получили равенство
\(\displaystyle (5t\,)^3-3\cdot (5t\,)^2\cdot 7+3\cdot 5t\cdot 7^2-7^3=a^{\,3}-3a^{\,2}b+3ab^{\,2}-b^{\,3}\)
при \(\displaystyle a=5t\) и \(\displaystyle b=7.\)
Следовательно,
\(\displaystyle (5t\,)^3-3\cdot (5t\,)^2\cdot 7+3\cdot 5t\cdot 7^2-7^3=(a-b\,)^3\)
при \(\displaystyle a=5t\) и \(\displaystyle b=7,\) то есть
\(\displaystyle (5t\,)^3-3\cdot (5t\,)^2\cdot 7+3\cdot 5t\cdot 7^2-7^3=(5t-7)^3.\)
Ответ: \(\displaystyle ({\bf 5t-7})^3.\)