Считая параметры \(\displaystyle y\) и \(\displaystyle x\) положительными, дополните до удвоенного произведения так, чтобы после приведения подобных получился полный квадрат разности положительных чисел, и запишите его:
\(\displaystyle 9y^{\,2}\,\)\(\displaystyle -yx+4x^{\,2}=\big(\)\(\displaystyle \big)^2\)
Так как надо дополнить до удвоенного произведения, то рассмотрим неизвестную и известную части как единое целое.
Поскольку мы ищем квадрат разности, то возьмем неизвестную часть со знаком минус "-":
\(\displaystyle 9y^{\,2}-\,\color{red}{?}-yx+4x^{\,2}=9y^{\,2}-\color{red}{(\,?+yx\,)}+4x^{\,2}.\)
Известно, что выражение
\(\displaystyle 9y^{\,2}-\color{red}{(\,?+yx\,)}+4x^{\,2}\)
является полным квадратом разности, и необходимо найти удвоенное произведение.
Следовательно,
\(\displaystyle 9y^{\,2}-\color{red}{(\,?+yx\,)}+4x^{\,2}=(a-b\,)^2,\)
\(\displaystyle 9y^{\,2}-\color{red}{(\,?+yx\,)}+4x^{\,2}=a^{\,2}-\color{red}{2ab}+b^{\,2}\)
для некоторых \(\displaystyle a\) и \(\displaystyle b.\)
Заметим, что \(\displaystyle 9y^{\,2}=3^2y^{\,2}=(3y\,)^2\) и \(\displaystyle 4x^{\,2}=2^2x^{\,2}=(2x\,)^2.\)
Нам известны квадраты:
\(\displaystyle a^{\,2}=(3y\,)^2,\)
\(\displaystyle b^{\,2}=(2x\,)^2,\)
но неизвестно удвоенное произведение:
\(\displaystyle 2ab=\color{red}{(\,?+yx\,)}.\)
Тогда \(\displaystyle a\) может быть \(\displaystyle \color{blue}{3y}\) или \(\displaystyle \color{green}{-3y},\,b\) может быть \(\displaystyle \color{blue}{2x}\) или \(\displaystyle \color{green}{-2x}.\)
Поскольку параметры \(\displaystyle y\) и \(\displaystyle x\) положительны и нам требуется получить квадрат разности положительных чисел, то \(\displaystyle a\) и \(\displaystyle b\) берем положительными, то есть со знаком "+":
\(\displaystyle a=\color{blue}{3y},\)
\(\displaystyle b=\color{blue}{2x}.\)
Тогда
\(\displaystyle 2ab=2\cdot 3y\cdot 2x,\)
\(\displaystyle 2ab=12yx.\)
Следовательно,
\(\displaystyle \color{red}{?+yx}=12yx,\)
\(\displaystyle \color{red}{?}=12yx-yx,\)
\(\displaystyle \color{red}{?}=11yx.\)
Таким образом,
\(\displaystyle 9y^{\,2}-\,\color{red}{?}-yx+4x^{\,2}=9y^{\,2}-\color{red}{11yx}-yx+4x^{\,2}\)
и
\(\displaystyle 9y^{\,2}{\bf -\,11}\pmb{y}\pmb{x}-yx+4x^{\,2}=({\bf 3y-2x}\,)^2.\)
Ответ: \(\displaystyle 9y^{\,2}{\bf -\,11}\pmb{y}\pmb{x}-yx+4x^{\,2}=({\bf 3y-2x}\,)^2.\)